Funkcja liniowa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy funkcji elementarnej. Zobacz też: przekształcenie liniowe w algebrze liniowej.

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomianowa
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja liniowa – w matematyce elementarnej, funkcja liczbowa f, której wzór można zapisać w postaci f(x) = ax + b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcja ta zawdzięcza swoją nazwę temu, iż jej wykres na płaszczyźnie jest linią prostą. Należy mieć na uwadze fakt, że w algebrze liniowej i innych dziedzinach matematyki termin ten jest używany w odniesieniu do homomorfizmów przestrzeni liniowych, jednak słowo funkcja jest, w tym wypadku, najczęściej zastępowane jednym z synonimów: odwzorowanie, przekształcenie, operator. W powyższym wzorze, jeśli b jest liczbą różną od 0, to funkcja f nie jest liniowa w sensie algebry liniowej.

Spis treści

[edytuj] Matematyka elementarna

[edytuj] Definicja

W algebrze elementarnej i geometrii analitycznej pod pojęciem funkcji liniowej rozumie się funkcję wielomianową stopnia co najwyżej pierwszego (tj. pierwszego stopnia lub funkcję stałą).

Innymi słowy, funkcją liniową nazywamy funkcję f\colon \mathbb R \to \mathbb R postaci f(x) = ax + b\,, gdzie a\, i b\, są ustalonymi liczbami rzeczywistymi (ogólniej można mówić o funkcjach liniowych określonych dla liczb zespolonych).

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje z wykresami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy (a\,), zaś funkcje z wykresami czerwonym i zielonym mają ten sam punkt przecięcia z osią OY\, (b\,).

Nazwa pochodzi stąd, że są to dokładnie te funkcje, których wykres na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linią prostą. Dokładniej: dla x \in \mathbb R wykresem funkcji f(x)\, jest prosta dana równaniem y = ax + b\,.

Liczbę a\, nazywamy współczynnikiem kierunkowym (kątowym) wspomnianej prostej. W prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach a interpretujemy jako tangens nachylenia owej prostej do osi OX\, układu współrzędnych, b\, to tzw. wyraz wolny, interpretowany jako punkt przecięcia prostej z osią OY\, układu, tzn. punkt (0,\; b)\,.

[edytuj] Własności

Funkcja liniowa f\colon \mathbb R \to \mathbb R jest

Gdy a = 1,\; b = 0\,, mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem funkcji liniowej – mianowicie funkcją tożsamościową określoną wzorem f(x) = x\,.

[edytuj] Algebra liniowa

W algebrze liniowej rozpatruje się podobne funkcje, które w celu uniknięcia nieporozumień, nazywa się przekształceniami lub odwzorowaniami.

Przekształceniem liniowym (w przypadku przekształcenia z przestrzeni liczb rzeczywistych w przestrzeń liczb rzeczywistych) nazywamy funkcję f(x) = ax\, określoną na przestrzeni liniowej, z kolei funkcje liniowe f(x) = ax + b\, noszą nazwę przekształceń afinicznych (określane na przestrzeniach afinicznych).

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_liniowa”