Funkcja liniowa

Funkcja liniowa – w geometrii analitycznej funkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia, tj. postaci $\scriptstyle x \mapsto ax + b,$ gdzie $\scriptstyle a, b$ są pewnymi stałymi. Nazwa pojęcia jest związana z tym, iż wykres funkcji liniowej jest linią prostą daną równaniem $\scriptstyle y = ax + b$ (zob. Wykres).

Funkcje te mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i doskonale znanymi, porządnymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

W dalszej części artykułu rozpatrywane będą funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać inne struktury (np. liczby zespolone); zob. Uogólnienia.

Definicja i własności

Niech $\scriptstyle f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję $\scriptstyle f$ nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

$f(x) = ax + b,$

gdzie $\scriptstyle a$ i $\scriptstyle b$ są ustalonymi stałymi rzeczywistymi.

Jeśli $\scriptstyle f$ jest niezdegenerowana, tzn. $\scriptstyle a \ne 0,$ to jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla $\scriptstyle a > 0$ i malejąca dla $\scriptstyle a < 0,$ ponadto różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna, a stąd odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). W przeciwnym przypadku jest ona ograniczona, okresowa i parzysta jako funkcja stała, stąd też monotoniczna: nierosnąca ani niemalejąca; nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna, a tym bardziej odwracalna. Funkcja jest nieparzysta, gdy $\scriptstyle b = 0$ – wynika stąd, że jedyną funkcją jednocześnie parzystą i nieparzystą jest funkcja stała $\scriptstyle x \mapsto 0.$

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest zawsze ciągła i różniczkowalna (a nawet gładka), przy czym pierwsza pochodna jest stale równa $\scriptstyle a,$ a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią $\scriptstyle OY.$

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa $\scriptstyle x \mapsto ax + b$ ma wykres będący prostą; współczynnik $\scriptstyle a$ nazywa się współczynnikiem kierunkowym lub kątowym opisuje nachylenie względem osi $\scriptstyle OX,$ z kolei współczynnik $\scriptstyle b,$ nazywany wyrazem wolnym, opisuje wskazuje punkt $\scriptstyle (0, b)$ przecięcia z osią $\scriptstyle OY.$

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) współczynnik kierunkowy interpretuje się jako tangens kąta skierowanego między osią $\scriptstyle OX$ a prostą $\scriptstyle y = ax + b$ opisywaną przez funkcję liniową $\scriptstyle x \mapsto ax + b.$

Uogólnienia

Funkcje liniowe są przypadkiem szczególnym funkcji kwadratowych, które również są funkcjami wielomianowymi – za dalekie uogólnienie tychże można zatem uważać wielomiany (które w zastosowaniach pokrywają się zwykle z odpowiadającymi im funkcjami wielomianowymi).

W algebrze liniowej definiuje się pojęcie „liniowości” nie w oparciu o własności geometryczne, lecz algebraiczne: zachowuje ono strukturę tzw. przestrzeni liniowych (będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych). Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi rezerwując nazwę „funkcja liniowa” dla funkcji wielomianowych opisywanych w tym artykule; mają one postać proporcjonalności prostej, czyli $\scriptstyle x \mapsto ax.$

Funkcje postaci $\scriptstyle x \mapsto ax + b$ nazywa się z kolei przekształceniami afinicznymi lub odwzorowaniami afinicznymi (definiowanymi między przestrzeniami afinicznymi, które również są uogólnieniem przestrzeni euklidesowych) – jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Iloraz dwóch funkcji liniowych (afinicznych), tj. postaci $\scriptstyle x \mapsto \frac{ax + b}{cx + d},$ to tzw. funkcja homograficzna. Rozpatruje się je w ciałach liczb rzeczywistych i zespolonych, często rozszerzonych o punkt niewłaściwy $\scriptstyle \infty$ (zob. rozszerzenie rzutowe liczb rzeczywistych i rozszerzenie rzutowe liczb zespolonych); służą one w związku z tym badaniu własności ogólnych przestrzeni rzutowych.

Zobacz też

• funkcja tożsamościowa
• funkcja przedziałami liniowa
• funkcja kwadratowa