Operator Stokesa

Operator Stokesa – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała (która może znajdować się w ruchu), w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia (który zwykle uznaje się za nieruchomy). Bardzo często używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

$\frac{D}{Dt}$ lub w sktócie $D_t$.

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

$\frac{\partial}{\partial t}$

różniczkowania cząstkowego względem czasu t.

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:

Zapis klasyczny	$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+ v_x \frac{\partial}{\partial x}+ v_y \frac{\partial}{\partial y}+ v _z \frac{\partial}{\partial z}$
Zapis indeksowy	$\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + v_i \nabla^i$
Zapis absolutny	$\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec v \cdot \vec\nabla$

gdzie: v – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana własność.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (związanej z ruchem).

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako φ (która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym) można wyrazić operator Stokesa przez:

$\frac{D}{Dt} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec v \cdot \mathop{\rm grad} \phi$

Wyprowadzenie w analizie lokalnej

W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej $\vec x$ w chwili t, znajdzie się w chwili t+Δ t w punkcie $\vec x + \Delta \vec x$. Z definicji pochodnej:

$\frac{D}{Dt}\phi = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\phi(t + \Delta t, \vec x + \Delta \vec x) - \phi(t, \vec x)}{\Delta t}$.

Oznaczając:

$\vec v' = \frac{\Delta \vec x}{\Delta t}$,

można zauważyć, że:

$\lim_{\Delta t \to 0} \vec v' = \vec v$.

Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu (t, x, y, z) otrzymuje się:

$\phi(t + \Delta t, \vec x + \Delta \vec x) = \phi(t, \vec x) + \frac{\partial \phi}{\partial \vec x} \cdot \Delta \vec x + \frac{\partial \phi}{\partial t} \Delta t + \mathcal O(\Delta \vec x \, \Delta \vec x) + \mathcal O(\Delta t^2) =$

$= \phi(t, \vec x) + \left( \frac{\partial \phi}{\partial \vec x} \cdot \vec v' + \frac{\partial \phi}{\partial t} \right) \Delta t + \mathcal O(\Delta t^2)$.

Stąd:

$\frac{D}{Dt}\phi = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \frac{\partial \phi}{\partial \vec x} \cdot \vec v' + \frac{\partial \phi}{\partial t} \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \left( \vec v' \cdot \vec\nabla + \frac{\partial}{\partial t}\right) \phi = \left( \frac{\partial}{\partial t} + \vec v \cdot \vec\nabla \right) \phi$.