Operator Stokesa

Operator Stokesa (operator pochodnej materialnej) – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy.

Operator używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

${\frac {D}{Dt}}$ lub w sktócie $D_{t}.$

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

${\frac {\partial }{\partial t}}$

różniczkowania cząstkowego względem czasu $t.$

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:

Zapis klasyczny	${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}$
Zapis indeksowy	${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v_{i}\nabla ^{i}$
Zapis absolutny	${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}$

gdzie: $v$ – prędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana wielkość.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (unoszenia). Pochodna lokalna określa szybkość zmiany wielkości w danym punkcie wynikającą ze zmiany pola w czasie. Pochodna unoszenia określa szybkość zmiany na skutek przemieszczania się płynu.

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako $\varphi ,$ która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym, można wyrazić operator Stokesa przez:

${\frac {D}{Dt}}\phi =({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi .$

Jeżeli funkcja różniczkowana jest prędkością, to pochodna jest przyspieszeniem płynu:

$\phi =v,$

$a={\frac {D}{Dt}}v=({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})v={\frac {\partial v}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}v.$

Wyprowadzenie w analizie lokalnej

W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej ${\vec {x}}$ w chwili $t,$ znajdzie się w chwili $t+\Delta t$ w punkcie ${\vec {x}}+\Delta {\vec {x}}.$ Z definicji pochodnej:

${\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})-\phi (t,{\vec {x}})}{\Delta t}}.$

Oznaczając:

${\vec {v}}'={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}},$

można zauważyć, że:

$\lim _{\Delta t\to 0}{\vec {v}}'={\vec {v}}.$

Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu $(t,x,y,z),$ otrzymuje się:

${\begin{aligned}\phi (t+\Delta t,{\vec {x}}+\Delta {\vec {x}})&=\phi (t,{\vec {x}})+{\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot \Delta {\vec {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta {\vec {x}}\,\Delta {\vec {x}})+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})\\&=\phi (t,{\vec {x}})+\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2}).\end{aligned}}$

Stąd:

${\frac {D}{Dt}}\phi =\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\vec {v}}'+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\vec {v}}'\cdot {\vec {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\phi =\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\phi .$

Wyprowadzenie alternatywne

Różniczka zupełna funkcji $\phi (t,x,y,z)$ ma postać:

$d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial t}}dt+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}dz,$

dzieląc przez $dt,$ możemy zapisać:

${\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},$

uwzględniając, że prędkość ${\vec {v}}=[u,v,w]=\left[{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right]$ otrzymujemy:

${\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+v{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+w{\frac {\partial \phi }{\partial z}}.$

Co można zapisać, używając operatorów:

${\frac {d\phi }{dt}}={\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \phi .$

W literaturze oznaczenia ${\frac {d}{dt}}$ oraz ${\frac {D}{Dt}}$ używane są zamiennie.