Prędkość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: inne znaczenia.

Prędkość:

  • wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.
  • skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.

Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Definicje prędkości[edytuj | edytuj kod]

Prędkość w ruchu prostoliniowym[edytuj | edytuj kod]

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną drogi po czasie, czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu

v={\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta x \over \Delta t}

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

Prędkość średnia wektorowa[edytuj | edytuj kod]

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie definiuje się jako:

\vec v_{s}=\frac{{\Delta}\vec r}{\Delta t}

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

\Delta \vec{r}=\vec{v}_{s}\cdot \Delta t

Prędkość jako wielkość niewektorowa[edytuj | edytuj kod]

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

v = \frac {ds} {dt} = |\vec v|

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Droga zależy od prędkości chwilowej:

s = \int\limits^{t_1}_{t_0} v(t)\; dt =\int\limits^{t_1}_{t_0}\; ds(t)

Stąd też zależność na prędkość średnią:

v_s = \frac {\int\limits^{t_1}_{t_0}\; ds(t)} {{t_1} - {t_0}}
v_{s}=\frac{s}{t}\ge |\vec v_{s}|

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

Prędkość w różnych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Układ współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

v_{x}=\frac{dx}{dt}\quad \quad v_{y}=\frac{dy}{dt}\quad \quad v_{z}=\frac{dz}{dt}

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

\vec{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]

lub z użyciem wersorów osi

\vec{v}=v_{x}\cdot \vec{i}_{x}+v_{y}\cdot \vec{i}_{y}+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}

Wartość prędkości dana jest wzorem:

v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}

Układ współrzędnych biegunowych[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości

  • prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego
v_{r}=\frac{dr}{dt}
  • prędkość transwersalna - prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego
v_{\varphi }=r\frac{d\varphi }{dt}

gdzie {\varphi }\, jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita

\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\varphi }\cdot \vec{i}_{\varphi }

Wartość prędkości całkowitej

v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}

Układ współrzędnych walcowych[edytuj | edytuj kod]

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi z :v_{z}=\frac{dz}{dt}

Prędkość całkowita

\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}

Wartość prędkości całkowitej

v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{z}^{2}}

Układ współrzędnych sferycznych[edytuj | edytuj kod]

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

v_{\phi }=r\frac{d\phi }{dt}

gdzie {\phi }\, jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku np. od osi 0Z

v_{\theta }=r\sin \phi \cdot \frac{d\theta }{dt}

gdzie kąt {\theta }\, jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita

\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{\theta }\cdot \vec{i}_{\theta }

Wartość prędkości całkowitej

v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{\theta }^{2}}

Prędkość kątowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Prędkość kątowa.

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

\omega =\frac{d\varphi }{dt}

gdzie φ jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując φ jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

\vec{\omega }=\frac{d\vec{\varphi }}{dt}

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

\vec{v}_{\varphi }=\vec{\omega }\times \vec{r}

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów[edytuj | edytuj kod]

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym[edytuj | edytuj kod]

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x. Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

\vec v = \frac {\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{x(T)-x(0)}{T}\hat{i_x}
|\vec v|=\frac{x(T)-x(0)}{T}=\frac{S}{T}=\textrm{const}

Gdzie:

  • \vec r(t) - wektor położenia jako funkcja czasu t
  • S - przebyta droga
  • T - czas trwania ruchu
  • x(t) - funkcja położenia (skalar) od czasu

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym[edytuj | edytuj kod]

Przyspieszenie \vec a jest stałe i niezerowe, więc prędkość \vec v zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \Rightarrow \Delta \vec v = \vec a \Delta t
\vec v(T) - \vec v(0) = \vec a T \Rightarrow \vec v(T)=\vec v(0) + \vec a T

Gdzie:

  • T - całkowity czas ruchu
  • \vec v(t) - wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasami (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego - ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia \vec a jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości - \vec v(t).

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)[edytuj | edytuj kod]

W tym ruchu wektor prędkości kątowej \vec \omega jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

\omega =\frac{\Delta \phi }{t}

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

v=\omega r\,

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

 x(t)=r\cos\omega t \,
 y(t)=r\sin\omega t\,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło prędkość w Wikisłowniku