Pierścień ilorazowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień ilorazowy to pojęcie teorii pierścieni analogiczne do pojęcia grupy ilorazowej w teorii grup.

Niech Q będzie ideałem pierścienia S. Relacja \mathrm R_Q\subset S\times S określona: a \mathrm R_Q b \iff a-b\in Q jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S. Zbiór ilorazowy S/\mathrm R_Q z określonymi w nim działaniami:

  • [a]+[b]=[a+b]
  • [a][b]=[ab]

jest pierścieniem. Pierścień ten oznaczamy przez S/Q i nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia S przez ideał Q.

Można wykazać, że dowolna relacja \mathrm R \subset S\times S jest relacją równoważności zgodną z działaniami w pierścieniu S wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczna z wyżej określoną relacją \mathrm R_Q dla pewnego ideału Q.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech S będzie dowolnym pierścieniem, zaś Q dowolnym jego ideałem.