Podnoszenie i opuszczanie wskaźników

Dla danego tensora z rozmaitości $M$ z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru $(k,l)$ na tensor wymiaru $(k+1,l-1)$ (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru $(k-1,l+1)$ (opuścić indeks).

Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie skrócenie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki:

$g^{ij}A_{j}=A^{i},$

a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je:

$g_{ij}A^{j}=A_{i}.$

Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych:

$g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}=\delta _{k}^{i},$

gdzie $\delta$ – delta Kroneckera odpowiadająca macierzy jednostkowej.

Należy zauważyć, że nieosobliwość $g_{ij}$ nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika. Jednak aby możliwe było obliczenie $g^{ij}$ i podwyższenie wskaźnika dowolnego tensora, macierz $g_{ij}$ musi być nieosobliwa.

Zobacz też

• izomorfizm muzyczny