Przestrzeń Lorentza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzenie Lorentza - klasa (quasi-)przestrzeni Banacha uogólniająca przestrzenie Lp. Konstrukcja przestrzeni pochodzi od G. Lorentza[1][2].

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Przestrzenią Lorentza Lp,q nazywa się przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji mierzalnych na X dla których wartość

\|f\|_{L_{p,q}(X,\mu)} = p^{1/q}\|t\mu\{|f|\ge t\}^{1/p}\|_{L_q(\mathbb{R}^+,\frac{dt}{t})}

jest skończona (jest to wówczas quasinorma zupełna w tej przestrzeni).

W przypadku q < ∞, zachodzi następujący wzór

\|f\|_{L_{p,q}(X,\mu)}=p^{1/q}\left(\int_0^\infty t^q \mu\left\{x\mid |f(x)| \ge t\right\}^{q/p}\,\frac{dt}{t}\right)^{1/q}.

natomiast gdy q = ∞ prawdziwy jest wzór

\|f\|_{L_{p,\infty}(X,\mu)}^p = \sup_{t>0}\left(t^p\mu\left\{x\mid |f(x)|>t\right\}\right).

Umownie, definiuje się L∞,∞(X,μ) = L(X,μ). W przypadku, gdy p=q przestrzenie Lorentza są przestrzeniami Lp, tj. Lp,p = Lp.

Normowanie[edytuj | edytuj kod]

Wyżej skonstruowane quasi-przestrzenie Banacha można unormować dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞]. Niech f będzie zespoloną funkcją mierzalną na X oraz niech funkcja

f^{*}: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty]

będzie zdefiniowana wzorem

f^{*}(t) = \inf\{\alpha \in \mathbb{R}^{+}: d_f(\alpha) \leq t\}

gdzie dƒ jest tzw. dystrybuantą funkcji ƒ, daną wzorem

d_f(\alpha) = \mu(\{x \in X\colon |f(x)| > \alpha\})

(powyżej umownie przyjęto, że infimum zbioru pustego wynosi ∞.

Dla p ∈ (1, ∞), q ∈ [1, ∞] funkcja

\| f \|_{L^{p, q}} = \left\{ 
\begin{array}{l l} 
\left( \int_0^{\infty} (t^{\frac{1}{p}} f^{*}(t))^q \, \frac{dt}{t} \right)^{\frac{1}{q}} & q \in (0, \infty),\\
\displaystyle \sup_{t > 0} t^{\frac{1}{p}} f^{*}(t) & q = \infty.
\end{array} 
\right.

jest normą w przestrzeni Lorentza Lp,q.

Przypisy

  1. G. Lorentz, Some new function spaces, Annals of Mathematics 51 (1950), 37-55.
  2. G. Lorentz, On the theory of spaces Λ, Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), pp. 411-429.