Równanie Grossa-Pitajewskiego

Równanie Grossa-Pitajewskiego jest nieliniowym równaniem modelowym na funkcję falową kondensatu Bosego-Einsteina. Ma formę podobną do równania Ginzburga-Landaua.

Kondensat Bosego-Einsteina (BEC) jest jednakowych gazem bozonów, które okupują jeden stan kwantowy, który w przybliżeniu może być przedstawiony w postaci iloczynu funkcji falowych poszczególnych cząstek, które są takie same. Każda z cząstek jest opisywana przez jednocząstkowe równanie Schrödingera. Oddziaływania między cząstkami w gazie rzeczywistym są opisywane przez ogólne wielocząstkowe równanie Schrödingera. Jeśli jednak gaz jest rzadki, można założyć, że cząstki oddziałują ze sobą tylko gdy są w tym samym miejscu, co wraz z formalizmem drugiej kwantyzacji prowadzi do równania Grossa-Pitajewskiego.

Forma równania

Równanie ma postać równania Schrödingera z dodanym nieliniowym członem oddziaływania. Stała sprzężenia, g, jest proporcjonalna do długości rozpraszania dwóch oddziałujących bozonów:

$g=\frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m}$,

gdzie $\hbar$ jest stałą Plancka a m jest masą każdego z bozonów. Hamiltonian ma postać

$\mathcal{H}=\int\psi^+(\vec r)\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec r) + \psi^+(\vec r)V(\mathbf{r})\psi(\vec r)+ \frac{1}{2}g\psi^+(\vec r)\psi^+(\vec r)\psi(\vec r)\psi(\vec r) d^3r,$

gdzie $\psi^+(\vec r)$ są operatorami kreacji

Stosując przybliżenie, że każda cząstka okupuje stan $\Psi(\mathbf{r})$ otrzymujemy gęstość energii

$\mathcal{E}=N\frac{\hbar^2}{2m}\vert\nabla\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + N(N-1)V(\mathbf{r})\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + \frac{N}{2}g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^4,$

Dokonując wariacji ze względu na $\Psi(\mathbf{r})^*$ i dodając mnożnik Lagrange'a - potencjał chemiczny utrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskigo.

$\mu\Psi(\mathbf{r}) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r})$

wraz z warunkiem na potencjał chemiczny:

$N = \int\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 d^3r$.

Istnieje też równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu:

$i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r})}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r})$.

Równanie to pozwala określić ewolucję kondensatu.

Rozwiązania

Rozwiązanie równania Grossa Pitajewskiego ze względu na jego nieliniowość jest trudnym problemem. W praktyce wykonuje się obliczenia numeryczne lub wykorzystuje rozmaite przybliżenia, rachunek zaburzeń. Występują szczególne rozwiązania:

• solitonowe ("jasne" i "ciemne" solitony")
• Thomasa-Fermiego (zaniedbany człon kinetyczny)

Bibliografia

• K. Sacha, "Kondensat Bosego-Einsteina", Kraków 2004
• C. J. Pethick and H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). ISBN 0-521-66580-9
• L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose–Einstein Condensation (Clarendon Press, Oxford, 2003). ISBN 0-19-850719-4