Hamiltonian

Mechanika klasyczna

W klasycznej mechanice teoretycznej hamiltonian (funkcja Hamiltona) jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

$H=H\left( q_1,...,q_N,p_1,...,p_N,t \right)$

gdzie $q_j$ oznaczają współrzędne uogólnione, $p_j$ pędy uogólnione, $N$ liczbę stopni swobody, a $t$ czas.

Sformułowanie lagranżowskie

Funkcję Hamiltona można wyprowadzić z lagranżjanu.

$\mathcal{L}= \mathcal{L}(q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)$

gdzie $q_j$ oznacza współrzędne uogólnione, $\dot q_j$ prędkości uogólnione, t czas. Dla każdej prędkości uogólnionej wprowadzamy odpowiadający jej pęd kanonicznie sprzężony zdefiniowany jako

$p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}$

W szczególnym przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione odpowiadają zwykłym pędom. We współrzędnych walcowych pęd odpowiadający prędkości kątowej odpowiada momentowi pędu. W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

W tym ujęciu Hamiltonian definiowany jest jako transformacja Legendre'a Lagranżjanu, tzn.

$H\left( q_1,...,q_N,p_1,...,p_N,t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots,q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )$

Przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych przez pędy uogólnione (Hamiltonian jest jawną funkcją pędów uogólnionych). Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej hamiltonian jest operatorem energii. Używa się go do opisywania wszystkich układów kwantowych, a więc występuje on w najrozmaitszych formach. W najprostszym przypadku kwantowej cząstki nierelatywistycznej poruszającej się w potencjale skalarnym jest równy

$H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2+U(\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +U(\vec{x})$

Wartości własne hamiltonianu

$H |n\rangle =E_n |n\rangle$

mają sens energii układu w stanie $\vert n \rangle$.

Jeżeli założymy że hamiltonian $\mathcal{H}$ nie zależy od czasu, to rozwiązaniem równania:

$i\hbar \frac{d}{dt} \vert \alpha_{s}(t)\rangle = \mathcal{H}\vert \alpha_{s}(t)\rangle, \ \ \ -i\hbar \frac{d}{dt} \langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t) \vert \mathcal{H}$ ponieważ $\mathcal{H}^{\dagger} = \mathcal{H}$.

są:

$\vert\alpha_{s}(t)\rangle = U(t)\vert\alpha_{s}(t_{0})\rangle, \ \ \ \langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t_{0}) \vert U^{\dagger}(t)$

gdzie

$U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H}*(t-t_{0})}$ jest operatorem ewolucji w czasie. A $\vert \alpha_{s}(t) \rangle$ jest wektorem stanu w obrazie Schrödingera.

Zobacz też

• Równania Hamiltona
• Lagranżjan
• Równania Eulera-Lagrange'a
• Mechanika klasyczna
• Mechanika kwantowa