Równanie symetryczne

Równanie symetryczne – równanie algebraiczne postaci

$a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,$ gdzie dla każdego i zachodzi $a_{n-i}=a_{i}.$

Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej $2n+1$ można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej $n.$ W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem $W(-1)=0$ i na podstawie twierdzenia Bézouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez $x+1,$ otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:

$a_{2m}x^{2m}+a_{2m-1}x^{2m-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0$

gdzie $a_{2m-k}=a_{k}$ i $a_{2m}\neq 0$ dzielimy obie strony równania przez $x^{m}.$ Grupując wyrazy, otrzymujemy

$a_{2m}(x^{m}+x^{-m})+a_{2m-1}(x^{m-1}+x^{1-m})+\ldots +a_{m+1}(x+x^{-1})+a_{m}=0.$

Podstawmy teraz $y=x+x^{-1}.$ Wówczas sumy $x^{k}+x^{-k}$ można wyrazić jako wielomiany zmiennej $y{:}$

$x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2,$

$x^{3}+x^{-3}=y^{3}-3y$

i ogólnie, korzystając ze związku

$(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n},$

czyli

$x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^{n}+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}$

możemy obliczyć $x^{n+1}+x^{-n-1},$ mając $x^{n}+x^{-n}$ i $x^{n-1}+x^{1-n}.$

Tak więc po podstawieniu $y=x+x^{-1}$ równanie redukuje się do równania stopnia $m{:}$

$b_{m}y^{m}+b_{m-1}y^{m-1}+\ldots +b_{1}y+b_{0}=0.$

Rozwiązując to równanie, ze związku $y=x+x^{-1}$ otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.

Przykłady

• Równanie $ax^{3}+bx^{2}+bx+a=0,$ gdzie $a\neq 0.$

Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez $x+1.$ Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

$ax^{2}+(b-a)x+a=0.$

• Równanie symetryczne stopnia czwartego zwie się zwyczajowo równaniem zwrotnym

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ gdzie $\neq 0.$

Dzieląc obustronnie przez $x^{2}$ i grupując wyrazy, otrzymujemy

$a(x^{2}+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.$

Podstawiając $y=x+x^{-1},$ mamy $x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2.$ Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

$a(y^{2}-2)+by+c=0,$

$ay^{2}+by+c-2a=0$

i korzystając z tych rozwiązań, obliczyć $x.$

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia
• równanie bikwadratowe