Równanie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie algebraicznerównanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie w postaci

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x + a_0=0,

gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną, a a_0, a_1,..., a_n są elementami pewnego ciała, nazywanymi współczynnikami równania, zaś x niewiadomą, która jest poszukiwanym rozwiązaniem równania.

Zakłada się, że współczynniki równania algebraicznego nie są wszystkie równe zero. Największą liczbę naturalną n, dla której a_n\not=0, nazywa się stopniem równania. Równanie pierwszego stopnia nazywa się równaniem liniowym, równanie drugiego stopnia – równaniem kwadratowym, Równanie trzeciego stopnia czasem nazywa się sześciennym. Równanie zerowego stopnia też można uważać liniowym. Wartości niewiadomej x, które spełniają równanie (to znaczy po podstawieniu ich w miejsce x zamieniają równanie w tożsamość), nazywa się pierwiastkami lub rozwiązaniami równania; są one jednocześnie pierwiastkami wielomianu W(x).

Rozwiązać równanie algebraiczne w ciele T, to znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki będące elementami ciała T. Zazwyczaj bierze się takie T, które zawiera wszystkie współczynniki równania. Na przykład jeżeli wszystkie współczynniki są rzeczywiste, to można rozwiązywać równanie w ciele liczb rzeczywistych, a można też w ciele liczb zespolonych (ponieważ każda liczba rzeczywista jest również liczbą zespoloną).

Każde równanie algebraiczne z zespolonymi współczynnikami (z wyjątkiem równania ze stałą częścią lewą) ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony (zob. zasadnicze twierdzenie algebry).

Równanie stopnia nie wyższego niż czwarty zawsze można rozwiązać, stosując jedną z wiadomych metod, jakie można tłumaczyć jako podające pierwiastki w postaci skończonych wyrażeń matematycznych zawierających współczynniki danego równania; te wyrażenia zawsze zawierają tylko następujące operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Zaś dla równań stopnia wyższego niż czwarty w przypadku ogólnym takie metody nie mogą istnieć; udowodnił ten fakt Niels Abel (zob. twierdzenie Abela-Ruffiniego). Dlatego dla rozwiązywania równań stopnia wyższego niż czwarty często są potrzebne metody numeryczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]