Równanie algebraiczne

Równanie algebraiczne to równanie postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie postaci

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x + a_0=0,$

gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną, a $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ są elementami pewnego ciała, nazywanymi współczynnikami równania, zaś x niewiadomą, która jest poszukiwanym rozwiązaniem równania.

Zakłada się, że współczynniki równania algebraicznego nie są wszystkie równe zero. Największą liczbę naturalną n, dla której $a_n\not=0$, nazywa się stopniem równania. Równanie pierwszego stopnia nazywa się równaniem liniowym, równanie drugiego stopnia - równaniem kwadratowym, równanie trzeciego stopnia czasem nazywa się sześciennym. Równanie zerowego stopnia też można uważać liniowym. Wartości niewiadomej x, które spełniają równanie (to znaczy po podstawieniu ich w miejsce x zamieniają równanie w tożsamość), nazywa się pierwiastkami lub rozwiązaniami równania; one są jednocześnie pierwiastkami wielomianu W(x).

Rozwiązać równanie algebraiczne w ciele T to znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki będące elementami ciała T. Zazwyczaj bierze się takie T, które zawiera wszystkie współczynniki równania. Na przykład, jeżeli wszystkie współczynniki są rzeczywiste, to można rozwiązywać równanie w ciele liczb rzeczywistych, a można też w ciele liczb zespolonych (ponieważ każda liczba rzeczywista jest również liczbą zespoloną).

Każde równanie algebraiczne z zespolonymi współczynnikami (z wyjątkiem równania ze stałą częścią lewą) ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony (zob. Zasadnicze twierdzenie algebry).

Równanie stopnia nie wyższego za czwarty zawsze można rozwiązać stosując jedną z wiadomych metod, jakie można tłumaczyć jako podające pierwiastki w postaci skończonych wyrażeń matematycznych zawierających współczynniki danego równania; te wyrażenia zawsze zawierają tylko następujące operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Zaś dla równań stopnia wyższego za czwarty w przypadku ogólnym takie metody nie mogą istnieć; udowodnił ten fakt Niels Abel (zob. Twierdzenie Abela-Ruffiniego). Dlatego dla rozwiązywania równań stopnia wyższego niż czwarty często są potrzebne metody numeryczne.

Zobacz też

• równanie
• równanie liniowe
• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia
• układ równań
• układ równań liniowych