Równanie czwartego stopnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie czwartego stopniarównanie algebraiczne postaci ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0,\quad gdzie a\neq0.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccolo Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolamo Cardano w Ars Magna w 1545.

Najprostsze typy równań[edytuj | edytuj kod]

W pewnych przypadkach równanie

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0\quad
(1)

można rozwiązać, przekształcając je w równanie kwadratowe.

Równanie dwukwadratowe[edytuj | edytuj kod]

Jeśli b=d=0\quad, czyli gdy (1) jest postaci

ax^{4}+cx^{2}+h=0,\quad\;
(1a)

to równanie to jest równaniem dwukwadratowym (bikwadratowym). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić t=x^2\;.

Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe at^2+ct+h=0 \;, które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.

Równanie zwrotne[edytuj | edytuj kod]

Jeśli b=d\quad\; oraz a=h\quad\;, czyli gdy (1) jest postaci

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\quad\;
(1b)

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez x^2\; i otrzymując

a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.\;

Podstawiając y=x+x^{-1}\;, otrzymuje się x^2+x^{-2}=y^2-2\; i równanie kwadratowe:

a(y^2-2)+by+c=0,\;

z którego oblicza się y\;, a potem wyznacza się x.\;

Redukcja przypadku ogólnego[edytuj | edytuj kod]

Dowód, że równanie (1) jest redukowalne do równania postaci

u^4+pu^2+qu+r=0\;
(2)

.

Wychodząc z równania (1), dzieli się obie strony przez a\;, otrzymując:

x^{4}+\frac{b}{a}x^{3}+\frac{c}{a}x^{2}+\frac{d}{a}x+\frac{h}{a}=0.\quad
(3)

Następnie stosuje się podstawienie x=u-\tfrac{b}{4a}\; prowadzące do:

\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{4}+\frac{b}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{3}+
+\frac{c}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{2}+\frac{d}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)+\frac{h}{a}=0.\quad
(4)

Po wymnożeniu otrzymuje się:

\left(u^4-\frac{b}{a}u^3+\frac{6b^2}{16a^2}u^2-\frac{4b^3}{64a^3}u+\frac{b^4}{256a^4}\right)+
\frac{b}{a}\left(u^3-\frac{3b}{4a}u^2+\frac{3b^2}{16a^2}u-\frac{b^3}{64a^3}\right) +
+\frac{c}{a}\left(u^2-\frac{b}{2a}u+\frac{b^2}{16a^2}\right) +
+\frac{d}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)+\frac{h}{a}=0,
(5)

a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:

u^{4}+\left( \frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a}\right) u^{2}+\left( \frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a}\right) u+
+\left(\frac{-3b^4}{256a^4}+\frac{cb^2}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{h}{a}\right) =0.
(6)

Jeśli oznaczy się jako

p=\frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a},
q=\frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a},
r=\frac{-3b^4}{256a^4}+\frac{cb^2}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{h}{a},

to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:

u^4+pu^2+qu+r=0\;
(2)

Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ u=x+\tfrac{b}{4a} i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z u\; to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu x+\tfrac{b}{4a}.

Rozwiązywanie równania zredukowanego[edytuj | edytuj kod]

Równanie zredukowane w sposób opisany powyżej można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:

Metoda Descartesa-Eulera[edytuj | edytuj kod]

Metoda Descartesa-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci

u^4+pu^2+qu+r=0\;
(2)

Jeśli q=0\quad to wtedy równanie jest równaniem dwukwadratowym. Jeśli nie, to stosuje się procedurę opisaną w tej sekcji.

Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek u_0 równania (2), to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian u^4+pu^2+qu+r\; przez u-u_0\;, redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (2).

Znajdowanie jednego pierwiastka[edytuj | edytuj kod]

Wprowadza się trzy zmienne t,v,w\; spełniające równanie

t+v+w=2u\;.

Wówczas

t^2+v^2+w^2+2(tv+tw+vw)=4u^2\;,

a stąd

\left(t^2+v^2+w^2\right)^2+4\left(t^2+v^2+w^2\right)\left(tv+tw+vw\right)+
+4\left(t^2v^2+t^2w^2+v^2w^2\right)+8tvw\left(t+v+w\right)=16u^4.

Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na u,u^2,u^4\; dane przez powyższe równania otrzymuje się:

\left(t^2+v^2+w^2\right)^2+4p\left(t^2+v^2+w^2\right)+\;
+4\left(tv+tw+vw\right)\left(t^2+v^2+w^2+2p\right)+\;
+4\left(t^2v^2+t^2w^2+v^2w^2\right)+\;
+8\left(t+v+w\right)\left(tvw+q\right)+16r=0\;
(7)

Każda trójka liczb t,v,w\; spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie u\; równania (2). Jeśli liczby t,v,w\; spełniają równania

tvw=-q\;
(8)
t^2+v^2+w^2=-2p\;
(9)
t^2v^2+t^2w^2+v^2w^2=p^2-4r\;
(10)

to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do

t^2v^2w^2=q^2\;
(11)

to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète'a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia znajduje się pierwiastki z_1,z_2,z_3\; "równania rozwiązującego":

z^3+2pz^2+(p^2-4r)z-q^2=0\;
(12)

Niech

  • t\; będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z_1\;,
  • v\; będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z_2\;, a
  • w\; będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby z_3,\; przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ q\neq 0\;, to z_3\neq 0\; i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby t,v,w\; spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):
u_0=\frac{t+v+w}{2}.

Znajdowanie wszystkich pierwiastków[edytuj | edytuj kod]

„Równanie rozwiązujące”

z^3+2pz^2+(p^2-4r)z-q^2=0\;
(12)

ma pierwiastki z_1,z_2,z_3\;. Następnie wyznacza się liczby t_1,v_1,w_1\;, tak że t^2=z_1,\; v^2=z_2,\; w^2=z_3\; oraz tvw=-q\;.

Wówczas liczby t_1,v_1,w_1\; spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuj się więc

t_1^2+v_1^2+w_1^2=-2p\;

oraz

t^2_1v^2_1+t^2_1w^2_1+v^2_1w^2_1=p^2-4\;,

a stąd

t_1^4+v_1^4+w_1^4-2\left(t_1^2w_1^2+t_1^2w_1^2+v_1^2w_1^2\right) =\;
=\left(t_1^2+v_1^2+w_1^2\right)^2-4\left(t_1^2w_1^2+t_1^2w_1^2+v_1^2w_1^2\right) =\;
=4p^2-4\left(p^2-4r\right)=16r\;
(13)

Skoro

\left(2u-t_1-v_1-w_1\right)\left(2u-t_1+v_1+w_1\right)\left(2u+t_1-v_1+w_1\right)\left(2u+t_1+v_1-w_1\right)=\quad
=\left[\left(2u-t_1\right)^2-\left(v_1+w_1\right)^2\right]\left[\left(2u+t_1\right)^2-\left(v_1-w_1\right)^2\right]=\quad
=\left(4u^2-t_1^2\right)^2-\left(2u-t_1\right)^2\left(v_1-w_1\right)^2-\left(2u+t_1\right)^2\left(v_1+w_1\right)^2+\left(v_1^2-w_1^2\right)^2=
=16u^4-8u^2\left(t_1^2+v_1^2+w_1^2\right)-16ut_1v_1w_1+t_1^4+v_1^4+w_1^4-2\left(t_1^2w_1^2+t_1^2v_1^2+v_1^2w_1^2\right)=
=16 (u^4+pu^2+qu+r)\;

to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz t_1v_1w_1=-q\;, więc otrzymuje się równanie:

16 (u^4+pu^2+qu+r)=\left(2u-t_1-v_1-w_1\right)\left(2u-t_1+v_1+w_1\right)\cdot
\cdot\left(2u+t_1-v_1+w_1\right)\left(2u+t_1+v_1-w_1\right),\;

więc liczby

u_1=\frac{t_1+v_1+w_1}{2},   u_2=\frac{t_1-v_1-w_1}{2},
u_3=\frac{-t_1+v_1-w_1}{2},    u_4=\frac{-t_1-v_1+w_1}{2}

spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód
Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
\left(u_1-u_2\right)\left(u_1-u_3\right)\left(u_1-u_4\right)\left(u_2-u_3\right)\left(u_2-u_4\right)\left(u_3-u_4\right)=\left(t_1^2-v_1^2\right)\left(t_1^2-w_1^2\right)\left(v_1^2-w_1^2\right)\quad, gdzie nadal t_1,v_1,w_1\; są pierwiastkami równania (12).

Metoda Ferrariego[edytuj | edytuj kod]

u^4 + pu^2 + qu + r = 0\;
(2)

Równanie ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\; jest redukowalne do powyższego przez podzielenie obu stron przez a\; i podstawienie x=u-\tfrac{b}{4a}\;.

Równanie (2) przekształca się do

u^4+2pu^2+p^2=pu^2-qu-r+p^2\;

a następnie

(u^2+p)^2=pu^2-qu-r+p^2\;
(14)

Wprowadzamy nową niewiadomą v\;. Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie v\; można zapisać

(u^2+p+v)^2=(u^2+p)^2+2v(u^2+p)+v^2=\;
=pu^2-qu-r+p^2+2v(u^2+p)+v^2=\;
=(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2),\;
(15)

czyli

(u^2+p+v)^2=(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)\;
(16)

Wyrażenie drugiego stopnia jest kwadratem, gdy jego wyróżnik jest równy zero. Należy zatem wybrać liczbę v\;, tak aby

(-q)^2-4(p+2v)(p^2-r+2pv+v^2)=0\;
(17)

Lewa strona równania (17) to wyróżnik wyrażenia kwadratowego

(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)=0\;.

Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem v\;

(q^2-4p^3+4pr)+(-16p^2+8r)v-20pv^2-8v^3=0,\;
(18)

które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem, przy v\; będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)\;

jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:


Powyższe równanie jest redukowalne do równania kwadratowego, np. korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]