Radykał ideału

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Radykał -- w pierścieniu przemiennym R, radykał ideału I (oznaczany przez \sqrt{I}) to zbiór wszystkich elementów pierścienia, których pewna potęga leży w ideale I:

\sqrt{I} = \left\{ a \in R : \exists{n>0}:  a^{n} \in I  \right\}

Dowodzi się, że radykał ideału I również jest ideałem, I \subseteq \sqrt{I} oraz gdy ideał I jest pierwszy, to I = \sqrt{I}. Implikacja w drugą stronę jednak nie zachodzi: równość I = \sqrt{I} nie implikuje pierwszości ideału I, jako kontrprzykład można wziąć np. ideał generowany przez xy w pierścieniu wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem liczb wymiernych \mathbb{Q}[x, y]. W związku z tym, ideały spełniające I = \sqrt{I} nazywamy ideałami radykalnymi.

Radykał ideału I jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych zawierających I.

Ideały radykalne odgrywają dużą rolę w klasycznej geometrii algebraicznej, ze względu na wyrażaną poprzez twierdzenie Hilberta o zerach odpowiedniość ideałów radykalnych w pierścieniach wielomianów nad ciałami algebraicznie domkniętymi, a rozmaitościami algebraicznymi nad tymi ciałami.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7.