Suma statystyczna

Suma statystyczna – pojęcie pomocnicze w mechanice statystycznej, pozwala obliczyć równowagowe funkcje stanu. Oznaczana jako $Z,$ wyraża się wzorem:

$Z=\sum _{\sigma }\exp(-\beta E_{\sigma })=\sum _{\sigma }\exp \left(-{\frac {E_{\sigma }}{k_{B}T}}\right).$

gdzie:

$\Sigma _{\sigma }$ – suma po stanach mikroskopowych,

$\sigma$ – indeks stanu mikroskopowego,

$E_{\sigma }$ – jego energia,

$\beta =1/(k_{B}T),$

$k_{B}$ – stała Boltzmanna,

$T$ – temperatura w skali Kelvina.

Przykładowo energia swobodna wyraża się jako:

$F=-k_{B}T\ln(Z).$

W mechanice kwantowej analogiem sumy statystycznej jest ślad macierzy operatora gęstości stanów, czyli:

$Z={\rm {{Tr}(e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})})}}$

występuje on w definicji wartości średniej z obserwabli:

$\langle A\rangle ={\rm {{Tr}({\hat {\rho }}{\hat {A}}),}}$

gdzie:

${\hat {\rho }}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},$

${\hat {H}}$ – hamiltonian układu fizycznego,

$\mu$ – potencjał chemiczny,

${\hat {N}}$ – operator liczby cząstek (jeżeli w układzie jest zachowana liczba cząstek).