Suma statystyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Suma statystyczna - pojęcie pomocnicze w mechanice statystycznej, pozwala obliczyć równowagowe funkcje stanu. Oznaczana jako Z, wyraża się wzorem


Z=\sum _{\sigma} \exp (-\beta E_{\sigma }) = \sum _{\sigma} \exp (-\frac{E_{\sigma}}{k_{B}T})

gdzie

\Sigma_\sigma – suma po stanach mikroskopowych,
\sigma – indeks stanu mikroskopowego,
E_{\sigma} – jego energia,
\beta=1/(k_BT),
k_Bstała Boltzmanna,
Ttemperatura w skali Kelvina.

Przykładowo energia swobodna wyraża się jako:

F=-k_B T \ln(Z)\,.

W mechanice kwantowej analogiem sumy statystycznej jest ślad macierzy operatora gęstości stanów, czyli:

Z=\rm{Tr}(e^{-\beta (\hat{H}-\mu \hat{N})})

występuje on w definicji wartości średniej z obserwabli:

 <A>=\rm{Tr}(\hat{\rho} \hat{A})

gdzie

 \hat{\rho}=\frac{1}{Z} e^{-\beta (\hat{H}-\mu \hat{N})}
\hat{H} jest hamiltonianem układu fizycznego
μ potencjałem chemicznym
\hat{N} operatorem liczby cząstek (jeżeli w układzie jest zachowana liczba cząstek).