Teoria odnowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Teoria odnowy - dział rachunku prawdopodobieństwa który uogólnia procesy Poissona na takie, w których odstępy między zdarzeniami (tutaj zwanymi odnowami) mają dowolny rozkład.

Proces odnowy[edytuj | edytuj kod]

Strumień odnowy[edytuj | edytuj kod]

Zdefiniujemy teraz pojęcie strumienia odnowy. Jest to zmienna losowa interpretowana jako chwila n-tej odnowy. Niech (X_n)_{n \geq 0}\; będzie ciągiem niezależnych, nieujemnych zmiennych losowych, takim że zmienne (X_n)_{n \geq 1}\; spełniają warunki:

- X_n \sim F \;;

- \lim_{x \to 0^{-}}F(x)=0;

- F(0) < 1 \;.

Gdzie F \; oznacza dystrybuantę zmiennej losowej X_1 \;. Zmienne (X_n)_{n \geq 0}\; interpretuje się, jako czasy pomiędzy odnowami.

Strumieniem odnowy nazywamy ciąg zmiennych losowych zdefiniowany następująco: S_{n} = \sum_{i=0}^{n} X_{i}. Zatem S_{n} \; oznacza czas n-tej odnowy.

Strumieie proste i ogólne[edytuj | edytuj kod]

Ze względu na rozkład zmiennej X_0 \; stosuje się następujący podział: Strumień odnowy nazywamy strumieniem prostym, jeśli P( X_0 > 0 )=0 \;. Strumień odnowy nazywamy strumieniem ogólnym, jeśli P( X_0 > 0 ) > 0 \;.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Proces odnowy definiuje się analogicznie jak liczbę zgłoszeń w procesie Poissona. Procesem odnowy nazywamy następującą zmienną losową: N_t = \begin{cases} 0, &X_0 > t\\ \sup\{n: S_n \le t\}, &X_0 \le t\end{cases} dla strumienia ogólnego;

 N_t = \sup\{n: S_n \leq t\} dla strumienia prostego.

Równoważnie dla obu strumieni, można zapisać: N_t = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{1}_{[0,t]}(S_n) .

Różnica w definicji procesu odnowy dla strumienia ogólnego i prostego, wynika z definicji tych strumieni. Strumień prosty w czasie t=0 z prawdopodobieństwem 1 ma wartość 0, zatem nigdy nie bieżemy kresu górnego zbioru pustego. W przypadku strumienia ogólnego wykluczamy tą możliwość przez podanie dodatkowego warunku.

Funkcja odnowy[edytuj | edytuj kod]

Funkcją odnowy (zwaną też funkcją średnią procesu odnowy, analogicznie do funkcji średniej niejednorodnego procesu Poissona) nazywamy funkcję  m(t) 
= E(N_t) \;.

Związki funkcji odnowy z rozkładem zmiennych  X_n \; [edytuj | edytuj kod]

- Funkcja odnowy jednoznacznie określa rozkład zmiennych  X_n \; ;

- Zachodzi równanie odnowy  m(t) = F(t) + \int_{0}^{t} m(t-x) dx .

Twierdzenia graniczne[edytuj | edytuj kod]

Poniżej są podane pewne twierdzenia o zachowaniu się procesu odnowy przy  t \to \infty. Niech  \mu = E(X_1) \;.

-Z prawdopodobieństwem 1 zachodzi zbieżność:  \frac{N_t}{t} \xrightarrow{t \to \infty} \frac{1}{\mu}.

- Elementarne twierdzenie odnowy:  \frac{E(N_t)}{t} \xrightarrow{t \to \infty} \frac{1}{\mu}.

Złożony proces odnowy[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie złożonego procesu odnowy jest uogólnienim pojęcia procesu odnowy. Złożony proces odnowy określany jest także mianem procesu odnowy wypłat. Nazwa ta odzwierciedla wygodną interpretację tego procesu. Mianowicie dla każdej chwili odnowy S_{n} \; przyporządkowujemy zmienną losową R_{n} \; zwaną wypłatą. O zmiennych (R_{n})_{n \geq 1} \; zakładamy, że są niezależne o jednakowym rozkładzie. Zmienne (R_{n})_{n \geq 1} \; mogą natomiast być zależne od (S_{n})_{n \geq 1} \;

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Złożonym procesem odnowy nazywamy zmienną losową określoną następująco:

R(t) = \sum_{n=1}^{N_t}R_n .

R(t) przy podanej wyżej interpretacji oznacza łączną wypłatę do chwili t. Gdy R_{n} = 1 \; to R(t) = N(t) \;, dlatego proces odnowy jest szczególnym przypadkiem złożonego procesu odnowy.

Średnia wypłata w długim okresie[edytuj | edytuj kod]

Podamy teraz twierdzenie, które mówi jak zachowuje się wyrażenie R(t)/t \; dla t \to \infty \;, oznaczające przy ustalonym t średnią wygraną do czasu t.

Niech  \rho = E(R_1), \mu = E(X_1) \;. Wtedy jeśli  \mu, \rho \leq \infty \; to z prawdopodobieństwem 1 istnieje granica:

\lim_{t \to \infty}\frac{R(t)}{t} = \frac{\rho}{\mu} \;.

Zatem średnia wygrana w długim okresie jest równa średniej wygranej w jednej odnowie podzielonej przez średnią długość czasu jednej odnowy.