Tożsamość Selberga

Tożsamość Selberga, wzór asymptotyczny Selberga (ang. Selberg's identity, Selberg's asymptotic formula) – zależność asymptotyczna dotycząca liczb pierwszych, wykorzystywana w teorii liczb - szczególnie w elementarnych dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych. Została ona udowodniona w marcu 1948 r. przez Atle Selberga i zaproponowana w artykule Paula Erdősa z 1949 r.

Treść tożsamości

Wzór asymptotyczny Selberga występuje pod wieloma różnymi formami. Wśród najczęściej stosowanych występują

$\vartheta (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x)$

lub równoważnie

$\psi (x)\log x+\sum _{p\leqslant x}\psi \left({\frac {x}{p}}\right)\log p=2x\log x+O(x)$,

gdzie $\vartheta$ i $\psi$ to odpowiednio pierwsza i druga funkcja Czebyszewa, a w podanych sumach występują jedynie liczby pierwsze $p\leqslant x$. Inną, rzadziej wykorzystywaną postacią, ale nie korzystającą z dodatkowych funkcji jest

$\sum _{p<x}(\log p)^{2}+\sum _{pq<x}\log p\log q=2x\log x+O(x)$.

Tożsamość dla funkcji von Mangoldta

Tożsamością, która może posłużyć jako lemat w dowodzie zależności asymptotycznej, jest (również nazywana tożsamością Selberga) równość

$\Lambda (n)\log n+\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}\mu (d)\left(\log {\frac {n}{d}}\right)^{2}$,

gdzie $\Lambda$ oznacza funkcję von Mangoldta, a $\mu$ funkcję Möbiusa.

Dowód: Dla dowolnej funkcji arytmetycznej $f$ oznaczmy przez $f'$ funkcję daną wzorem $f'(n):=f(n)\log n$, gdzie czynnik, przez który funkcja jest przemnożona, to logarytm naturalny. Można wykazać, że tak zdefiniowane funkcje spełniają własności:

• $(f+g)'=f'+g'$,
• $(f*g)'=f'*g+f*g'$, gdzie $*$ oznacza splot Dirichleta,
• $(f^{-1})'=-f'*(f*f)^{-1}$, gdzie $f^{-1}$ oznacza odwrotność Dirichleta $f$, pod warunkiem, że $f(1)\neq 0$.

Pierwsza równość jest oczywista, druga jest prawdziwa, ponieważ

$(f*g)'(n)=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\log n=\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\log d+\sum _{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)\log {\frac {n}{d}}=(f'*g)(n)+(f*g')(n)$.

Trzecia równość wynika z drugiej, ponieważ

$0=(f*f^{-1})'=f'*f^{-1}+f*(f^{-1})'$,

więc

$f*(f^{-1})'=-f'*f^{-1}$.

Mnożąc obie strony przez $f^{-1}$, otrzymuje się

$(f^{-1})'=-(f'*f^{-1})*f^{-1}=-f'*(f^{-1}*f^{-1})=-f'*(f*f)^{-1}$.

Można teraz przystąpić do dowodu tożsamości. Należy tu skorzystać ze znanej tożsamości dla funkcji von Mangoldta, tzn. ${\textstyle \sum _{d|n}\Lambda (d)=\log n}$. Zapisując tę równość w splocie Dirichleta, $\Lambda *1=1'$, gdzie $1(n)=1$ dla wszystkich $n\in \mathbb {N}$. Stąd

$(\Lambda *1)'=\Lambda '*1+\Lambda *1'=1''$.

Podstawiając $1'=\Lambda *1$, wzór przekształca się do

$\Lambda '*1+\Lambda *(\Lambda *1)=1''$.

Obie strony mnoży się przez $\mu =1^{-1}$, żeby otrzymać

$\Lambda '+\Lambda *\Lambda =1''*\mu$.

Powyższa jest poszukiwaną tożsamością.

Funkcja generująca

Współczynniki ${\textstyle c_{n}=\Lambda (n)\log n+\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda (n/d)}$ występujące po lewej stronie tożsamości są współczynnikami szeregu Dirichleta

${\frac {\zeta ''}{\zeta }}(s)=\left({\frac {\zeta '}{\zeta }}\right)'(s)+\left({\frac {\zeta '}{\zeta }}\right)^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n^{s}}}$,

gdzie $\zeta$ oznacza funkcję zeta Riemanna. Funkcja ta ma biegun rzędu 2 w $s=1$ ze współczynnikiem 2, dlatego w szacowaniu ${\textstyle \sum _{n<x}c_{n}}$ pojawia się wyrażenie $2x\log x$.

Ogólna postać wzoru

Jak pisał Atle Selberg w liście do Doriana Goldfelda z 6 stycznia 1998r., otrzymana tożsamość pokazuje, że funkcje Czebyszewa spełniają zależność postaci

$f(x)\log x+\int _{1}^{x}f\left({\frac {x}{t}}\right)\;df(t)=2x\log x+O(x)$.

Tożsamość Selberga miała posłużyć udowodnieniu, że $\psi (x)\sim x$. Jednak w ogólności można skonstruować kontrprzykład - niemonotoniczną funkcję $f$, dla której powyższa zależność jest spełniona, ale $f(x)\not \sim x$.