Splot Dirichleta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Splot Dirichleta - dla funkcji arytmetycznych f i g jest to funkcja określona wzorem

(f*g)(n) = \sum_{d\,\mid\,n} f(d)g(n/d) \,

gdzie suma rozciąga się po wszystkich dodatnich dzielnikach d liczby n.

Własności algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

(1) Zbiór funkcji arytmetycznych ze zwykłym dodawaniem i splotem Dirichleta jako mnożeniem tworzy pierścień przemienny z jednością określoną jako

\varepsilon(n) = \begin{cases} 1, & gdy \ n = 1 \\ 0, & gdy \ n \ne 1 \end{cases}

(2) Zbiór funkcji multyplikatywnych tworzy grupę ze splotem Dirichleta jako działaniem grupowym. Oznacza to m.in. że splot funkcji multyplikatywnych jest funkcją multyplikatywną oraz że dla każdej funkcji multyplikatywnej f istnieje taka funkcja multyplikatywna g, że f * g = ε.