Funkcja monotoniczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Disambig.svg Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „zbiór monotoniczny”. Zobacz też: klasa monotoniczna w teorii mnogości i teorii miary.
Funkcja monotonicznie niemalejąca (silnie po lewej i słabo po prawej).
Funkcja monotonicznie nierosnąca.
Funkcja niemonotoniczna.

Funkcja monotonicznafunkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

Analiza matematyczna[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon A \to B będzie dowolną funkcją określoną na zbiorach silnie uporządkowanych (A, <) oraz (B, \prec), takich jak np. podzbiory liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych, a a_1, a_2 będą dowolnymi elementami A. Wówczas funkcję f nazywa się

  • rosnącą lub silnie rosnącą, gdy
    a_1 < a_2 \Rightarrow f(a_1) \prec f(a_2);
  • malejącą lub silnie malejącą, gdy
    a_1 < a_2 \Rightarrow f(a_2) \prec f(a_1).

Jeżeli zbiory (A, \leqslant) oraz (B, \preccurlyeq)słabo uporządkowane, to funkcję f nazywa się

  • niemalejącą lub słabo rosnącą, gdy
    a_1 \leqslant a_2 \Rightarrow f(a_1) \preccurlyeq f(a_2);
  • nierosnącą lub słabo malejącą, gdy
    a_1 \leqslant a_2 \Rightarrow f(a_2) \preccurlyeq f(a_1).

Aby uczynić definicje przystępniejszymi wprowadza się dodatkowe relacje „większe” i „większe-równe” odwrotne względem powyższych, wówczas warunki po prawych stronach implikacji w drugiej i czwartej definicji mają postać kolejno: f(a_1) \succ f(a_2) i f(a_1) \succcurlyeq f(a_2).

W szczególności symbole <, \prec oraz \leqslant, \preccurlyeq mogą oznaczać odpowiednio relacje „mniejsze” < oraz „mniejsze-równe” \leqslant określone na zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych. Podobnie ma się rzecz z relacjami „większe” > i „większe-równe” \geqslant.

Funkcją monotoniczną nazywa się każdą z powyższych czterech rodzajów funkcji, choć niekiedy czyni się to tylko w stosunku do dwóch pierwszych. Aby uniknąć nieporozumień pierwsze dwie nazywa się czasami silnie monotonicznymi, a dwie pozostałe – słabo monotonicznymi. Można powiedzieć, że funkcje rosnące „zachowują porządek”, zaś funkcje malejące „odwracają” go.

Funkcje silnie monotoniczne są różnowartościowe. Należy zaznaczyć, że dowolna funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Dodatkowo jeśli f jest rosnąca, to -f maleje i odwrotnie; podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.

Jeżeli w zbiorze B zdefiniowano relację równości (równoważności; relacja porządku nie jest wymagana), wówczas funkcję f nazywa się

  • stałą, gdy
    f(a_1) = f(a_2) dla dowolnych a_1, a_2 \in A.

Jeżeli B jest dodatkowo zbiorem uporządkowanym, to funkcje stałe są jedynymi funkcjami tak niemalejącymi jak i nierosnącymi. W związku z tym funkcja stała także bywa zaliczana do klasy funkcji monotonicznych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładami ciągów (które są funkcjami) mogą być:

Własności i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Funkcja monotoniczna przedziałami to funkcja, której dziedzinę można podzielić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna (np. wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wielomiany; niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że większość funkcji rzeczywistych nie jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).

Dla f\colon \mathbb R \to \mathbb R zachodzą następujące własności:

Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są:

Ważnym zastosowaniem funkcji monotonicznych jest dystrybuanta zmiennej losowej X w teorii prawdopodobieństwa:

F_X(x) = \mathbb P(X \leqslant x)

jest funkcją (słabo) rosnącą.

Funkcja unimodalna to funkcja, której wartości monotonicznie rosną do pewnego punktu (mody), a następnie monotonicznie maleją.

Analiza funkcjonalna[edytuj | edytuj kod]

W analizie funkcjonalnej (być może nieliniowy) operator T\colon X \to X^* określony na przestrzeni liniowo-topologicznej X nazywa się monotonicznym, jeżeli

dla dowolnych u, v \in X zachodzi (Tu - Tv, u - v) \geqslant 0.

Twierdzenie Kaczurowskiego (Качуровский, Kachurowskii) mówi, że pochodne funkcji wypukłych na przestrzeniach Banacha są operatorami monotonicznymi.

Podzbiór G zbioru X \times X^* nazywany jest zbiorem monotonicznym, jeżeli dla każdych dwóch par (u_1, w_1) i (u_2, w_2) z G jest

(w_1 - w_2, u_1 - u_2) \geqslant 0.

Jeżeli G jest maksymalnym w sensie inkluzji zbiorem monotonicznym, to mówi się, że jest on maksymalnie monotoniczny. Wykres operatora monotonicznego jest zbiorem monotonicznym. Operator monotoniczny nazywa się maksymalnie monotonicznym, jeżeli jego wykres jest zbiorem maksymalnie monotonicznym.

Teoria porządku[edytuj | edytuj kod]

Definicja monotoniczności w teorii porządku ma nieco węższy zakres, niż podana wyżej. Jest to spowodowane faktem, iż rozpatrywane tam zbiory nie muszą być całkowicie (liniowo) uporządkowane: bada się częściowe porządki, a nawet praporządki. Z tego powodu unika się tam wyrażeń „rosnący (słabo/silnie)”, czy „malejący (słabo/silnie)”. O funkcji f\colon A \to B między zbiorami (A, \leqslant) oraz (B, \eqslantless) mówi się, że jest monotoniczna, izotoniczna lub zachowuje porządek, jeżeli

\forall_{a, b \in A}\; a \leqslant b \Rightarrow f(a) \eqslantless f(b).

Jeżeli

\forall_{a, b \in A}\; a \leqslant b \Rightarrow f(b) \eqslantless f(a),

to funkcję f nazywa się antymonotoniczną, antytoniczną lub odwracającą porządek.

Łatwo można się przekonać, że złożenie dwóch funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną. Funkcja stała jest zarazem monotoniczna i antymonotoniczna; odwrotnie, jeżeli funkcja jest tak monotoniczna, jak i antymonotoniczna, a dziedzina f jest kratą, to f musi być stała.

Funkcje monotoniczne są morfizmami w kategorii \mathbf{Pos} zbiorów częściowo uporządkowanych.

Funkcje boole'owskie[edytuj | edytuj kod]

W algebrze Boole'a funkcją monotoniczną nazywa się taką funkcję, że dla wszystkich a_i, b_i \in \{0, 1\} takich, że a_i \leqslant b_i dla i = 1, \dots, n spełniony jest warunek

f(a_1, \dots, a_n) \leqslant f(b_1, \dots, b_n).

Monotoniczne funkcje boole'owskie to dokładnie te funkcje, które mogą być zdefiniowane jako złożenia spójników i (koniunkcji), lub (alternatyw), ale bez nie (negacji).

Liczba takich funkcji n zmiennych znana jest jako liczba Dedekinda dla n.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]