Twierdzenie Gelfonda-Schneidera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \alpha\ (\alpha\neq 0,\ \alpha\neq 1) i \betaliczbami algebraicznymi, \beta nie jest liczbą wymierną, to każda wartość \alpha^{\beta} jest liczbą przestępną.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • \alpha i \beta nie muszą być liczbami rzeczywistymi - w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
  • W ogólności \alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}, gdzie "log" oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot "każda wartość".
  • Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:
jeżeli \alpha,\ (\alpha\neq 0,\ \alpha\neq 1) oraz \gamma są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to (\log \gamma)/(\log \alpha) jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.
  • Pominięcie wymogu, by \beta było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. \alpha=3 i \beta=\log 2/\log 3 (jest to liczba przestępna), to \alpha^{\beta}=2 jest liczbą algebraiczną. Pełen opis wartości tych \alpha i \beta, dla których \alpha^{\beta} jest liczbą przestępną nie jest znany.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]