Liczby algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Dowodzi się, że dla każdej liczby algebraicznej α istnieje wielomian nierozkładalny nad {\mathbb Q}, którego pierwiastkiem jest α. Stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby α.

Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało. W 1882 Ferdinand Lindemann dowiódł, że liczba π nie jest algebraiczna, czyli jest przestępna i tym samym udowodnił, że kwadratura koła nie jest możliwa.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każda liczba wymierna \begin{matrix}\frac{p}{q}\end{matrix} jest liczbą algebraiczną stopnia 1, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego qx-p\,.
  • Liczba \sqrt{2} jest liczbą algebraiczną stopnia 2, bo jest pierwiastkiem wielomianu x^{2}-2\,.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]