Liczby algebraiczne

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

Dowodzi się, że dla każdej liczby algebraicznej α istnieje wielomian nierozkładalny nad ${\mathbb Q}$, którego pierwiastkiem jest α. Stopień tego wielomianu nazywamy stopniem liczby α.

Zbiór liczb algebraicznych tworzy ciało. W 1882 Ferdinand Lindemann dowiódł, że liczba π nie jest algebraiczna, czyli jest przestępna i tym samym udowodnił, że kwadratura koła nie jest możliwa.

Przykłady

• Każda liczba wymierna $\begin{matrix}\frac{p}{q}\end{matrix}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 1, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego $qx-p\,$.
• Liczba $\sqrt{2}$ jest liczbą algebraiczną stopnia 2, bo jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego $x^{2}-2\,$.

Zobacz też

• element algebraiczny
• liczba
• ciało algebraicznie domknięte