Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona

Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona, znane również jako twierdzenie Whittakera-Nyquista-Kotielnikova-Shannona lub twierdzenie o próbkowaniu, mówi o tym, kiedy z sygnału dyskretnego $x^\star(t)$ złożonego z próbek danego sygnału ciągłego $x(t)\,$ można wiernie odtworzyć sygnał $x(t)\,$. Jest to fundamentalne twierdzenie teorii informacji, telekomunikacji oraz cyfrowego przetwarzania sygnałów, ponieważ opisuje matematyczne podwaliny procesów próbkowania sygnałów oraz ich rekonstrukcji.

Teza

Jeśli sygnał ciągły nie posiada składowych widma o częstotliwości równej i większej niż B, to może on zostać wiernie odtworzony z ciągu jego próbek tworzących sygnał dyskretny, o ile próbki te zostały pobrane w odstępach czasowych nie większych niż 1/(2B).

Uwagi

Rys.1: Przykładowe widmo sygnału o ograniczonym widmie (niebieskie) oraz obrazy tego widma powstałe wskutek próbkowania (zielone).

Próbkowanie (dyskretyzacja) sygnału ciągłego powoduje zwielokrotnienie jego oryginalnego widma w dziedzinie częstotliwości w ten sposób, że obok widma sygnału oryginalnego pojawiają się jego kopie przesunięte o wszystkie całkowite (dodatnie i ujemne) wielokrotności częstotliwości próbkowania tworząc tzw. obrazy (rys. 1). Próbkowanie sygnału może wiązać się z jego zniekształceniem wskutek zjawiska aliasingu, czyli nakładania się widm (rys. 2). Aby możliwe było wierne odtworzenie sygnału ciągłego, spełnione powinny być przede wszystkim dwa warunki:

Rys.2 Góra: Przykładowe widmo sygnału dyskretnego uzyskanego przez próbkowanie sygnału o niedostatecznie ograniczonym widmie, wskutek czego widma zachodzą na siebie i nie dają się rozdzielić (aliasing). Dół: Sygnał o prawidłowo ograniczonym widmie po spróbkowaniu daje możliwość poprawnej rekonstrukcji.

• Widmo sygnału oryginalnego oraz kopie tego widma przesunięte o wszystkie całkowite wielokrotności częstotliwości próbkowania nie nachodzą na siebie.

W teorii oznacza to, że widmo sygnału ciągłego musi być ograniczone do pewnego przedziału częstotliwości, a poza nim mieć wartość zerową:

$\begin{cases} |X(f)| \ne 0 & \mbox{dla } |f| < B \\ |X(f)| = 0 & \mbox{dla } |f| \ge B \end{cases}$

gdzie $B$ to częstotliwość graniczna widma.

Częstotliwość próbkowania jest odwrotnością okresu próbkowania, czyli odstępu w czasie pomiędzy kolejnymi próbkami: $f_s = {1 \over T_s}$. Częstotliwość próbkowania powinna spełniać warunek $f_s \ge 2B$.

Rys.3: Rekonstrukcja widma sygnału oryginalnego przy pomocy filtru dolnoprzepustowego usuwającego obrazy widma.

• Jest możliwość idealnego odfiltrowania sygnału oryginalnego $x(t)\,$ z sygnału spróbkowanego $x^\star(t)$, to znaczy usunięcia zwielokrotnionych kopii $X(f)$ bez zmiany wartości fazy i amplitudy (rys. 3).

Aby tego dokonać potrzebny jest filtr o transmitancji:

$H(f) = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } 0 < f < {1 \over {2 T_s}} \\ 0 & \mbox{dla } f \geq {1 \over {2 T_s}} \end{cases}$.

Jeśli opisane twierdzeniem Kotielnikowa-Shannona warunki nie są spełnione, pojawia się problem aliasingu, którego nie można usunąć bez znajomości oryginalnego sygnału ciągłego. W praktyce żaden w powyższych warunków nie jest spełniony:

• Sygnały o ściśle ograniczonym widmie mają nieskończony czas trwania. Takie sygnały nie występują w praktyce, zatem każdy realny sygnał, nawet poddany filtracji ograniczającej szerokość pasma, nie spełnia warunku Nyquista.

• Filtry mogą mieć transmitancję jedynie zbliżoną do transmitancji filtru idealnego potrzebnego do rekonstrukcji, stąd taka idealna rekonstrukcja sygnału ciągłego jest często (lecz nie zawsze) niemożliwa.

Dowód

Dowód twierdzenia podany przez Shannona wykorzystuje właściwość symetrii przekształcenia Fouriera i bazuje na rozwinięciu widma sygnału w zespolony szereg Fouriera.

Skoro widmo sygnału, $X(f)$, posiada niezerowe wartości wyłącznie w przedziale $|f|<f_s/2,$ zatem w tym przedziale można je zapisać jako sumę zespolonego szeregu Fouriera (uwaga: tutaj składniki sumowane są w dziedzinie częstotliwości)

$X(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} X_k e^{j k {2 \pi f}\over{f_s}}.$

Współczynniki tego szeregu, $X_k$ można wyznaczyć z całki

$X_k = \int_{- f_s/2}^{f_s/2} X(f) e^{-j k {2 \pi f}\over{f_s}}\;d f.$

Zapisując $x(t)$ jako odwrotną transformatę

$x(t) = \int_{-f_s/2}^{f_s} X(f) e^{j 2 \pi f t}\;d f,$ łatwo zauważyć, że $X_k = x(t) |_{t = {k\over{f_s}}}.$

Oznacza to, że $X(f)$ jest całkowicie i jednoznacznie opisane przez ciąg próbek $x({k / {f_s}}).$

Zobacz też

• Próbkowanie
• Częstotliwość Nyquista
• Claude E. Shannon
• Harry Nyquist
• Edmund Whittaker