Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona, znane również jako twierdzenie Whittakera-Nyquista-Kotielnikova-Shannona lub twierdzenie o próbkowaniu, mówi o tym, kiedy z sygnału dyskretnego x^\star(t) złożonego z próbek danego sygnału ciągłego x(t)\, można wiernie odtworzyć sygnał x(t)\,. Jest to fundamentalne twierdzenie teorii informacji, telekomunikacji oraz cyfrowego przetwarzania sygnałów, ponieważ opisuje matematyczne podwaliny procesów próbkowania sygnałów oraz ich rekonstrukcji.

Teza[edytuj | edytuj kod]

Jeśli sygnał ciągły nie posiada składowych widma o częstotliwości równej lub większej niż B, to może on zostać wiernie odtworzony z ciągu jego próbek tworzących sygnał dyskretny, o ile próbki te zostały pobrane w odstępach czasowych nie większych niż 1/(2B).

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Rys. 1: Przykładowe widmo sygnału o ograniczonym widmie (niebieskie) oraz obrazy tego widma powstałe wskutek próbkowania (zielone).

Próbkowanie (dyskretyzacja) sygnału ciągłego powoduje zwielokrotnienie jego oryginalnego widma w dziedzinie częstotliwości w ten sposób, że obok widma sygnału oryginalnego pojawiają się jego kopie przesunięte o wszystkie całkowite (dodatnie i ujemne) wielokrotności częstotliwości próbkowania tworząc tzw. obrazy (rys. 1). Próbkowanie sygnału może wiązać się z jego zniekształceniem wskutek zjawiska aliasingu, czyli nakładania się widm (rys. 2). Aby możliwe było wierne odtworzenie sygnału ciągłego, spełnione powinny być przede wszystkim dwa warunki:

Rys. 2 Góra: Przykładowe widmo sygnału dyskretnego uzyskanego przez próbkowanie sygnału o niedostatecznie ograniczonym widmie, wskutek czego widma zachodzą na siebie i nie dają się rozdzielić. Dół: Inny sygnał, spróbkowany z tą samą, niedostateczną częstotliwością. Obliczenie dyskretnej transformaty Fouriera tego sygnału daje ten sam wynik, co w przypadku sygnału wyżej, przez co sygnał okresowy odtworzony odwrotną transformatą jest identyczny. Demonstruje to zjawisko aliasingu - dwa przedstawione sygnały są swoimi "aliasami", niemożliwymi do rozróżnienia po spróbkowaniu.
  • Widmo sygnału oryginalnego oraz kopie tego widma przesunięte o wszystkie całkowite wielokrotności częstotliwości próbkowania nie nachodzą na siebie.

W teorii oznacza to, że widmo sygnału ciągłego musi być ograniczone do pewnego przedziału częstotliwości, a poza nim mieć wartość zerową:

\begin{cases}
|X(f)| \ne 0 & \mbox{dla } |f| < B \\
|X(f)| = 0 & \mbox{dla } |f| \ge B
\end{cases}

gdzie B to częstotliwość graniczna widma.

Częstotliwość próbkowania jest odwrotnością okresu próbkowania, czyli odstępu w czasie pomiędzy kolejnymi próbkami: f_s = {1 \over T_s}. Częstotliwość próbkowania powinna spełniać warunek f_s \ge 2B.

Rys. 3: Rekonstrukcja widma sygnału oryginalnego przy pomocy filtru dolnoprzepustowego usuwającego obrazy widma.
  • Jest możliwość idealnego odfiltrowania sygnału oryginalnego x(t)\, z sygnału spróbkowanego x^\star(t), to znaczy usunięcia zwielokrotnionych kopii X(f) bez zmiany wartości fazy i amplitudy (rys. 3).

Aby tego dokonać potrzebny jest filtr o transmitancji:

H(f) = \begin{cases}
1 & \mbox{dla } 0 < f < {1 \over {2 T_s}} \\
0 & \mbox{dla } f \geq {1 \over {2 T_s}}
\end{cases}.

Jeśli opisane twierdzeniem Kotielnikowa-Shannona warunki nie są spełnione, pojawia się problem aliasingu, którego nie można usunąć bez znajomości oryginalnego sygnału ciągłego. W praktyce żaden w powyższych warunków nie jest spełniony:

  • Sygnały o ściśle ograniczonym widmie mają nieskończony czas trwania. Takie sygnały nie występują w praktyce, zatem każdy realny sygnał, nawet poddany filtracji ograniczającej szerokość pasma, nie spełnia warunku Nyquista.
  • Filtry mogą mieć transmitancję jedynie zbliżoną do transmitancji filtru idealnego potrzebnego do rekonstrukcji, stąd taka idealna rekonstrukcja sygnału ciągłego jest często (lecz nie zawsze) niemożliwa.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia podany przez Shannona wykorzystuje właściwość symetrii przekształcenia Fouriera i bazuje na rozwinięciu widma sygnału w zespolony szereg Fouriera.

Skoro widmo sygnału, X(f), posiada niezerowe wartości wyłącznie w przedziale |f|<f_s/2, zatem w tym przedziale można je zapisać jako sumę zespolonego szeregu Fouriera (uwaga: tutaj składniki sumowane są w dziedzinie częstotliwości)

X(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} X_k e^{j k {2 \pi f}\over{f_s}}.

Współczynniki tego szeregu, X_k można wyznaczyć z całki

X_k = \int_{- f_s/2}^{f_s/2} X(f) e^{-j k {2 \pi f}\over{f_s}}\;d f.

Zapisując x(t) jako odwrotną transformatę

x(t) = \int_{-f_s/2}^{f_s/2} X(f) e^{j 2 \pi f t}\;d f, łatwo zauważyć, że X_k = x(t) |_{t = {k\over{f_s}}}.

Oznacza to, że X(f) jest całkowicie i jednoznacznie opisane przez ciąg próbek x({k / {f_s}}).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]