Twierdzenie Krejna-Szmuljana

Twierdzenie Krejna-Szmuljana – twierdzenie udowonione w 1940 przez Krejna i Szmuljana, które charakteryzuje wypukłe podzbiory przestrzeni sprzężonych przestrzeni Banacha w topologii *-słabej. Twierdzenie uogólnia się na przypadek przestrzeni Frécheta.

Twierdzenie

Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz niech B_X* oznacza domkniętą kulę jednostkową w przestrzeni sprzężonej X. Jeśli C jest wypukłym podzbiorem X*, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby t > 0 zbiór

$C\cap tB_{X^{*}}=\{f\in C\colon \|f\|\leqslant t\}$

jest *-słabo domknięty.

Bezpośrednim wnioskiem z powyższego twierdzenia jest następujące kryterium na *-słabą domkniętość w X*: podprzestrzeń liniowa Y przestrzeni X* jest domknięta w *-słabej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest *-słabo domknięta. Założenia zupełności przestrzeni X w twierdzeniu Krejna-Šmuliana nie można pominąć.

Wersja twierdzenia dla przestrzeni Frécheta

Powyższe twierdzenie można wypowiedzieć nieco ogólniej, w języku półnorm w przestrzeniach Frécheta.

Nich X będzie jest przestrzenią Frécheta. Jeśli C jest wypukłym podzbiorem X*, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej ciągłej półnormy

$p\colon X\to [0,\infty )$

zbiór

$\{f\in C\colon |\langle f,x\rangle |\leqslant p(x),\,x\in X\}$

jest *-słabo domknięty.

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.brak strony w książce
• B. Rodrigues, S. Simons: A minimax proof of the Krein-Smulian Theorem, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 51, Number 6, 1988.