Twierdzenie o kącie zewnętrznym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o kącie zewnętrznym - twierdzenie geometrii absolutnej, a zatem prawdziwe również w geometrii hiperbolicznej:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od każdego z kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych[1].

Kąt zewnętrzny jest równy sumie kątów wewnętrznych nieprzyległych

W geometrii euklidesowej twierdzenie to można wypowiedzieć precyzyjniej:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie miar kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych

To drugie twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia o tym, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°.

W geometrii hiperbolicznej twierdzenie to można wypowiedzieć następująco:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od sumy miar kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych,

bo suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest mniejsza od 180°.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie[edytuj | edytuj kod]

Tw kat zew1.svg
Tw kat zew2.svg

A, B, C - wierzchołki wyjściowego trójkąta CZ - dwusieczna kąta zewnętrznego

Twierdzenie:

 \frac {AC} {BC} = \frac {AZ} {BZ}

Dowód 1:

Wprowadźmy oznaczenia

X - taki punkt X na AC, że trójkąt XCB jest równoramienny: XC = CB

Y - taki punkt Y, że kąt CYB = CXB = CBX czyli XC = CB = BY

Trójkąt BYZ jest podobny do trójkąta ACZ stąd:

 \frac {AZ} {BZ} = \frac {AC} {BY}
czyli
 \frac {AZ} {BZ} = \frac {AC} {BC} co należało dowieść.

Dowód 2:

Postępujemy analogicznie, jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego poprzez pola trójkątów. Wystarczy zauważyć, że sinus kąta BCZ jest równy sinusowi kąta ACZ.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Karol Borsuk, Wanda Szmielew: Podstawy Geometrii. Warszawa: PWN, 1970, s. 95.