Układ różniczkujący

Układ różniczkujący – układ elektroniczny którego napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do szybkości zmian napięcia wejściowego. Układy różniczkujące buduje się jako aktywne i pasywne.

Teoria

Pasywny układ różniczkujący

Aktywny układ różniczkujący

Układ różniczkujący składa się z kondensatorów i rezystorów (rzadziej z cewek i rezystorów). Działanie układu opiera się na relacji pomiędzy prądem i napięciem na kondensatorze.

$i = C \frac{dU}{dt}$,

W przypadku układu aktywnego prąd płynący przez kondensator jest proporcjonalny do pochodnej napięcia wejściowego po czasie. W układzie pasywnym zależność tą przyjmuje się z pewnym przybliżeniem. Prąd kondensatora płynie również przez rezystor. Napięcie na rezystorze, równe napięciu wyjściowemu, określa prawo Ohma.

• Dla układu pasywnego:

$i = \frac{U_R}{R}$,

$U_{we}=U_C+U_R\;$,

Po zróżniczkowaniu powyższych równań otrzymamy:

$\frac{dU_{we}}{dt}=\frac{dU_C}{dt}+R\frac{di}{dt}=\frac{i}{C}+R\frac{di}{dt}$

Przy zastosowaniu przybliżenia:

$\left |\frac{i}{C}\right |\gg R\left |\frac{di}{dt}\right |$

wtedy

$\frac{dU_{we}}{dt}=\frac{dU_C}{dt}\cong \frac{i}{C}$

i ostatecznie:

$U_{wy} \cong {R}{C}\frac{dU_{we}}{dt}$,

• Dla układu aktywnego:

$i_C=i_R=i \quad U_{-}=U_{+}=0\;$ oraz $U_{wy}=-U_R\;$

$C\frac{dU_{we}}{dt}-\frac{U_{we}}{R}=0$

stąd:

$U_{wy} = -{R}{C}\frac{dU_{we}}{dt}$

co potwierdza, że napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do pochodnej napięcia wejściowego.

gdzie:

• i - prąd płynący przez kondensator i rezystor,
• C – pojemność,
• U_C – napięcie na kondensatorze,
• R - rezystancja opornika,
• U_wy - napięcie wyjściowe równe napięciu na rezystorze,
• U_we - napięcie wejściowe, w przybliżeniu równe napięciu na kondensatorze.

Zastosowanie

Układy różniczkowe są używane głównie w filtrach górnoprzepustowych, w systemach automatyki do przetwarzania sygnału. Były stosowane w pierwszej połowie XX w w maszynach analogowych do symulacji elektrycznej rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz też

• układ całkujący (integrator)