Wielomian nierozkładalny

Wielomian $f \in F[t]$ nazywamy wielomianem nierozkładalnym (inaczej – nieprzywiedlnym), jeśli:

• stopień wielomianu jest większy od zera: $\deg f > 0\,\!$ (ang. degree – stopień),
• w każdym rozkładzie f na czynniki jeden z wielomianów–czynników ma stopień zero, tzn. jest stałą: $\forall g,h \in F[t]\ (f = gh \implies \deg g = 0 \or \deg h = 0).$

Każdy wielomian $f \in F[t], \deg\ f \geqslant 1$ jest iloczynem wielomianów nierozkładalnych i może być przedstawiony w postaci: $f = a\prod_{i=1}^nf_i,$ gdzie $a \in F$ oraz $f_i, i = 1 \ldots n$ są nierozkładalne i unormowane (tzn. współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1). Każde dwa rozkłady powyższej postaci różnią się co najwyżej kolejnością czynników.

Jeżeli $f \in \mathbb{Z}_p[X]$ jest wielomianem nierozkładalnym stopnia $r>1$ to $f \mid X^{p^r-1} - 1$ a stąd jeśli $f$ jest wielomianem nierozkładalnym to $f \mid X^{p^r} - X$

Jeżeli wielomian nierozkładalny $f \in \mathbb{Z}_p[X]$ dzieli wielomian $X^{p^d}-X,$ to $\deg\ f \mid d.$

Zachodzi następująca równość:

$X^{p^d}-X = \prod_{f \in \mathbb{Z}_p[X]} f$ ,

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich wielomianach unormowanych, nierozkładalnych w $\mathbb{Z}_p$ i stopnie tych wielomianów dzielą $d$.

Dla każdego $d > 0$ istnieje w $\mathbb{Z}_p[X]$ wielomian nierozkładalny stopnia $d$.

Wielomian nierozkładalny $g \in \mathbb{Z}_p[X]$ nazywamy wielomianem pierwotnym (ang. primitive).

$X \in \mathbb{Z}_p[X]_{/f}$ jest generatorem grupy multiplikatywnej tego ciała.