Element odwracalny

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Spis treści

1 Algebra ogólna
2 Teoria pierścieni
- 2.1 Grupa elementów odwracalnych
- 2.2 Stowarzyszenie
3 Przykłady
4 Zobacz też

Element odwracalny – nazwa ta oznacza dwa różne, choć ściśle powiązane ze sobą pojęcia.

[edytuj] Algebra ogólna

Element nazywa się odwracalnym względem danego (wewnętrznego) działania dwuargumentowego w pewnej struktury algebraicznej, jeżeli istnieje dla niego element odwrotny względem tego działania. Innymi słowy, jeżeli zbiór $A$ wyposażony jest w działanie $\bigstar: A \times A \to A$ , to element $a \in A$ jest odwracalny, jeśli istnieje taki element $b \in A$ , że

$a \bigstar b = \iota$ oraz $b \bigstar a = \iota$ ,

gdzie $ι$ jest elementem neutralnym działania $\bigstar$ .

Jeżeli spełniony jest tylko pierwszy warunek, to element $a \in A$ nazywany jest prawostronnie odwracalnym, jeżeli tylko drugi, to nazywa się go lewostronnie odwracalnym. Z łączności działania $\bigstar$ wynika, że element odwracalny tak lewo- jak i prawostronnie jest odwracalny (obustronnie). Przemienność działania $\bigstar$ sprawia, że pojęcia lewo- i prawostronnej odwracalności stają się tożsame.

[edytuj] Teoria pierścieni

W teorii pierścieni elementy odwrotne względem dodawania nazywane są elementami przeciwnymi. Ponieważ elementy pierścienia z działaniem dodawania tworzą grupę, to dla każdego elementu pierścienia istnieje element do niego przeciwny, zatem każdy z nich jest odwracalny względem tego dodawania. Zwyczajowo nazwę element odwrotny rezerwuje się dla elementu odwrotnego względem mnożenia. Ponieważ nie każdy element ma element do niego odwrotny względem mnożenia, to uzasadnione jest wyróżnianie tych elementów, które mają swoje odwrotności – właśnie one nazywane są elementami odwracalnymi lub dla odróżnienia od ogólnie pojętych elementów odwracalnych jednościami (nie należy mylić z jedynką, która w danym pierścieniu z jedynką jest jedna).

Dla danego pierścienia z jedynką $(R, +, \cdot, 0, 1)$ element $a \in R$ nazywa się odwracalnym lub jednością, jeśli jest dzielnikiem jedynki:

$\exist_{b \in R}\; a \cdot b = b \cdot a = 1$ .

[edytuj] Grupa elementów odwracalnych

Zbiór elementów odwracalnych danego pierścienia oznacza się symbolem $R *$ lub $U (R)$ . Ponieważ zbiór ten zawiera jedynkę (elementem do niej odwrotnym jest ona sama) oraz dla $a, b \in R^*$ jest $ab^{-1} \in R^*$ , to $(R^*, \cdot, 1)$ jest grupą.

Pierścień (z jedynką) $R$ jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy $R^* = R \setminus \{0\}$ .

[edytuj] Stowarzyszenie

W pierścieniu przemiennym z jedynką $R$ grupa elementów odwracalnych $R *$ działa na zbiorze $R$ za pomocą mnożenia. Orbity tego działania nazywane są klasami elementów stowarzyszonych. Oznacza to, że istnieje określona na $R$ relacja równoważności $˜$ , nazywana stowarzyszeniem, taka że

$r \sim s \iff \exist_{u \in R^*}\; r = u \cdot s$ .

Innymi słowy elementy stowarzyszone różnią się o czynnik odwracalny.

W dziedzinie całkowitości $R$ moc klas elementów stowarzyszonych (wyłączając ${0}$ ) jest równa mocy zbioru $R *$ .

[edytuj] Przykłady

Zobacz też: arytmetyka modularna, gdzie omawia się pierścienie $\mathbb Z_n$ i ciała $\mathbb Z_p$ .

W poniższych przykładach wszystkie elementy wspomnianych pierścieni mają elementy przeciwne, czyli są one odwracalne względem dodawania. Omawiane są w nich elementy odwracalne względem działania multiplikatywnego.

Pierścień liczb całkowitych $\mathbb Z$ ma dokładnie dwa elementy odwracalne (jedności): $1$ oraz $- 1$ w pierścieniu liczb całkowitych Gaussa $\mathbb Z[i]$ są nimi dodatkowo wyłącznie $i$ oraz $- i$ .
W pierścieniu $\mathbb Z_n$ , gdzie $n \in \mathbb N$ istnieją elementy tak odwracalne (względnie pierwsze z $n$ ), jak i nieodwracalne (w przeciwnym przypadku), ich liczba dana jest za pomocą funkcji φ Eulera, np. w $\mathbb Z_4$ odwracalne są elementy $1$ i $3 = - 1$ , pozostałe, czyli $0$ oraz $2$ , są nieodwracalne.
W pierścieniu wielomianów o współczynnikach wymiernych $\mathbb Q[x]$ jedynymi elementami odwracalnymi są wielomiany stopnia 0 (różne od zera wielomiany stałe).
W dowolnym ciele każdy niezerowy element jest odwracalny. Jest to warunek konieczny, by pierścień był ciałem. Jeśli pierścień jest nietrywialny (), to jest to warunek konieczny i wystarczający.
- Dla liczb rzeczywistych $\mathbb R$ : $5 \cdot \tfrac{1}{5} = 1$
- Dla $\mathbb Z_p$ , gdzie $p$ jest liczbą pierwszą, przykładowo $p = 7$ : $5 \odot_7 3 = 15 \pmod 7 = 1$ .
W zbiorze macierzy kwadratowych ustalonego stopnia z mnożeniem Cauchy'ego elementami odwracalnymi (macierzami odwracalnymi) są wszystkie macierze nieosobliwe.