Stopień wielomianu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Stopień jednomianu niezerowego to suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych, np. jednomian xy=x^1 y^1 jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu \left.f\right. oznaczamy \deg f (skrót od angielskiego degree).

Niekiedy zakłada się, że jeśli f\equiv 0, wówczas \deg f =-\infty.

Stopień wielomianu ma następujące własności:

  • stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni
  • stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera.

Rozszerzenie pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Jeśli wielomian rzeczywisty f(x) osiąga od pewnego miejsca tylko wartości dodatnie, wówczas stopniem tego wielomianu nazywamy wartość:

\deg f\colon = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log|f(x)|}{\log(x)}.

Wzór ten możemy zastosować także do pewnych funkcji, nie będących wielomianami, np.:

  • \deg \tfrac{1}{x} = -1
  • \deg \sqrt x = \tfrac{1}{2}
  • \deg \log x = 0
  • \deg \exp x = \infty

Uwaga: Takie rozszerzenie pojęcia stopnia wielomianu nie jest poprawne z punktu widzenia algebry.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • 3x3−2x2+x−1 — wielomian stopnia 3
  • x5+x3−2x+11 — wielomian stopnia 5
  • 2x — wielomian stopnia 1
  • −9 — wielomian stopnia 0.
  • 0 — wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).