0,(9)

Stylizowany perspektywą zbieżną zapis liczby $0{,}(9)$

0,(9) (lub 0,999…) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość $0{,}(9)=1$ można udowodnić na kilka sposobów.

Dowody

Dowód 1.

Dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej. Wykorzystuje przedstawienie ułamka ${\tfrac {1}{9}}$ w postaci liczby dziesiętnej $0{,}(1).$ Z równości ${\tfrac {1}{9}}=0{,}(1)$ natychmiast wynika

$0{,}(9)=9\cdot 0{,}(1)=9\cdot {\frac {1}{9}}=1.$

Dla ułamków postaci ${\frac {c}{9}},\,\,1\leqslant c<9$ zachodzi równość

$10\cdot {\frac {c}{9}}=c+{\frac {c}{9}},$

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie $c_{0}=0,\quad c_{1}=c_{2}=c_{3}=\ldots ,$ tzn.

${\frac {1}{9}}=0{,}(1),\quad {\frac {2}{9}}=0{,}(2),\quad {\frac {3}{9}}=0{,}(3),\quad \dots \quad {\frac {8}{9}}=0{,}(8).$

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka ${\tfrac {9}{9}},$ stąd nieoczywista równość

${\frac {9}{9}}=0{,}(9)$,

którą należy wykazać.

Podobnie ułamek ${\tfrac {3}{9}}={\tfrac {1}{3}}$ można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej $0{,}(3).$ Stąd

$0{,}(9)=3\cdot 0{,}(3)=3\cdot {\frac {1}{3}}=1.$

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:

$0{,}(9)=0{,}(1)+0{,}(8)={\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}=1.$

Podobnie dla poniższych rozkładów

$0{,}(9)=0{,}(2)+0{,}(7)=0{,}(3)+0{,}(6)=0{,}(4)+0{,}(5)=0{,}(1)+0{,}(2)+0{,}(2)+0{,}(4)$ itd.

Dowód 2.

Dowód jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem:

$x=0{,}(9)$

$10x=9{,}(9)$

$10x-x=9{,}(9)-0{,}(9)$

$9x=9$

$x=1$, q.e.d.

Dowód 3.

Skorzystajmy z własności szeregów zbieżnych:

• jeśli $\sum _{i}a_{i}$ jest zbieżny, to $\sum _{i}k\cdot a_{i}$ też jest zbieżny oraz $\sum _{i}k\cdot a_{i}=k\cdot \sum _{i}a_{i},$
• jeśli $\sum _{i}a_{i},\sum _{i}b_{i}$ są zbieżne, to $\sum _{i}(a_{i}+b_{i})$ też jest zbieżny oraz $\sum _{i}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i}a_{i}+\sum _{i}b_{i}.$

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

$0{,}(9)=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}$

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym $a_{1}={\frac {9}{10}},\,\,q={\frac {1}{10}},$ dostaniemy:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {\frac {9}{10}}{\frac {9}{10}}}=1$, q.e.d.

Dowód 4.

Dowód polega na założeniu, że istnieje liczba $y$, która leży między $0{,}(9)$ a $1$, tj. $0{,}(9)<y<1$.

Załóżmy, że $0{,}(9)<y<1$. Wtedy możemy zapisać:

$y=1-\epsilon ,$

gdzie $\epsilon$ jest bardzo małą liczbą dodatnią (taką, że $0<\epsilon <1$).

Zauważmy teraz, że dla każdej liczby dziesiętnej w postaci $1-\epsilon$, jeśli $\epsilon$ jest dowolnie małe, to ta liczba jest niemal równa $1$, ale nie może być różna od $1$. Oznacza to, że nie ma żadnej liczby $y$, która mogłaby leżeć między $0{,}(9)$ a $1$, ponieważ liczba $0{,}(9)$ jest już maksymalnie bliska $1$.

Podobnie, rozważając rozwinięcie dziesiętne liczby $y$, które miałoby znajdować się pomiędzy $0{,}(9)$ a $1$, zauważamy, że każda próba umieszczenia takiej liczby w tej przestrzeni prowadzi do sytuacji, w której $y$ zbliża się do $1$ w sposób nieskończony, a więc nie istnieje przestrzeń między $0{,}(9)$ a $1$.

Wobec tego, żadne $y$ nie istnieje między $0{,}(9)$ a $1$, co dowodzi, że:

$0{,}(9)=1$, q.e.d.

Zobacz też

• paradoksy Zenona z Elei