0,(9)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
0,(9)

0,(9) (lub 0,999...) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość 0,(9) = 1 można udowodnić na kilka sposobów.

Dowody[edytuj]

Dowód 1.[edytuj]

Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka w postaci liczby dziesiętnej . Z równości natychmiast wynika

Podobnie ułamek można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej . Stąd

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem; przykładowo:

.

Podobnie dla poniższych rozkładów

  itd.

Dowód 2.[edytuj]

Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:

Dowód 3.[edytuj]

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym , dostaniemy:

.

Uwagi[edytuj]

Uwaga 1.

Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej.

Dla ułamków postaci zachodzi równość

,

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie , tzn.

,

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka , stąd nieoczywista równość

,

którą należy wykazać.

Uwaga 2.

Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.

Uwaga 3.

Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych:

  • jeśli jest zbieżny, to też jest zbieżny oraz
  • jeśli są zbieżne, to też jest zbieżny oraz

Zobacz też[edytuj]