0,(9)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
0,(9)

0,(9) (lub 0,999...) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość 0,(9) = 1 można udowodnić na kilka sposobów.

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Dowód 1.[edytuj | edytuj kod]

Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka w postaci liczby dziesiętnej Z równości natychmiast wynika

Podobnie ułamek można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej Stąd

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:

Podobnie dla poniższych rozkładów

  itd.

Dowód 2.[edytuj | edytuj kod]

Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:

Dowód 3.[edytuj | edytuj kod]

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym dostaniemy:

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Uwaga 1.

Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej.

Dla ułamków postaci zachodzi równość

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie tzn.

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka stąd nieoczywista równość

którą należy wykazać.

Uwaga 2.

Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.

Uwaga 3.

Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych:

  • jeśli jest zbieżny, to też jest zbieżny oraz
  • jeśli są zbieżne, to też jest zbieżny oraz

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]