Ułamek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
W tych przegródkach znajduje się 7 gołębi. Jeden gołąb to jedna część z siedmiu – jedna siódma stadka, czyli nieco więcej niż 14% wszystkich.
Ciasto dzielimy na cztery równe części. Jedna część to ¼, czyli 25% całego ciasta – jeśli dodamy wszystkie cztery kawałki, uzyskamy całe ciasto.

Ułamek – wyrażenie postaci gdzie nazywane licznikiem, oraz nazywane mianownikiem[1], są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz jest nieokreślony.

Liczby wymierne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności[2], a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa[3]. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się

Działania na ułamkach[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego ułamek jest równy Operację zamiany na nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:S

na przykład:

Przedstawienie liczby w postaci ułamka prowadzi do wzorów:

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

Liczba może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

Wzór:

lub można skrócić na gdzie oraz

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 1) lub ma postać gdzie

Przykład: Ułamek jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Ułamki często wykorzystywane są do obliczania stóp procentowych, gdzie stopa procentowa wyrażana jest jako ułamek[4], na przykład 5% to

Przykład: Obliczenie rocznych odsetek z lokaty 1000 zł przy stopie 5%: Odsetki = 1000 zł × ​ = 50 zł

Wyrażenia wymierne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: ciało ułamków.

Dla każdego pierścienia całkowitego (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Istotność założenia całkowitości pierścienia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli dla niezerowych to

czyli

stąd zaś dla dowolnego

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia[edytuj | edytuj kod]

Ten artykuł jest częścią serii
Historia oznaczeń
matematycznych

Symbol działania
+ i −
=
<, >, ≤, ≥,⩽, ⩾, ≦, ≧, ≠
znak nieskończoności
ułamki zwykłe
separator dziesiętny
moduł
znak epsilon

Według działów
matematyki

analiza matematyczna
rachunek różniczkowy i całkowy
logika
teoria grafów
teoria liczb

Stałe matematyczne
Edytuj szablon

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np.

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:

Nazwa Znak Unicode Kod HTML
Jedna czwarta ¼ U+00BC &#xBC; lub &#188;
Jedna druga ½ U+00BD &#xBD; lub &#189;
Trzy czwarte ¾ U+00BE &#xBE; lub &#190;
Jedna siódma U+2150 &#x2150; lub &#8528;
Jedna dziewiąta U+2151 &#x2151; lub &#8529;
Jedna dziesiąta U+2152 &#x2152; lub &#8530;
Jedna trzecia U+2153 &#x2153; lub &#8531;
Dwie trzecie U+2154 &#x2154; lub &#8532;
Jedna piąta U+2155 &#x2155; lub &#8533;
Dwie piąte U+2156 &#x2156; lub &#8534;
Trzy piąte U+2157 &#x2157; lub &#8535;
Cztery piąte U+2158 &#x2158; lub &#8536;
Jedna szósta U+2159 &#x2159; lub &#8537;
Pięć szóstych U+215A &#x215A; lub &#8538;
Jedna ósma U+215B &#x215B; lub &#8539;
Trzy ósme U+215C &#x215C; lub &#8540;
Pięć ósmych U+215D &#x215D; lub &#8541;
Siedem ósmych U+215E &#x215E; lub &#8542;
Jedna ... U+215F &#x215F; lub &#8543;

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. ułamek, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-30].
  2. ułamek właściwy, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-30].
  3. ułamek niewłaściwy, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-30].
  4. Ułamki - dodawanie, mnożenie i dzielenie - SprawdzJak.pl, 7 stycznia 2024 [dostęp 2024-01-16] (pol.).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Fraction, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Fraction (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].