Ułamek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ułamek – wyrażenie postaci , gdzie , nazywane licznikiem, oraz , nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz jest nieokreślony.

Istnieją także ułamki niewłaściwe, w których licznik jest większy lub równy mianownikowi, np. lub .

Liczby wymierne[edytuj]

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się

Działania na ułamkach[edytuj]

Dla każdego ułamek jest równy . Operację zamiany na nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

, na przykład:
.

Przedstawienie liczby w postaci ułamka prowadzi do wzorów:

,
.

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

.

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

.

Liczba może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i .

Wyrażenia wymierne[edytuj]

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków[edytuj]

 Osobny artykuł: ciało ułamków.

Dla każdego pierścienia całkowitego (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Istotność założenia całkowitości pierścienia[edytuj]

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli dla niezerowych , to

,

czyli

,

stąd zaś dla dowolnego

,

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa , a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia[edytuj]

Ten artykuł jest częścią serii
Historia oznaczeń
matematycznych
Rhind Mathematical Papyrus.jpg

Symbol działania
+ i −
=
<, >, ≤, ≥,⩽, ⩾, ≦, ≧, ≠
znak nieskończoności
ułamki zwykłe
separator dziesiętny
moduł
znak epsilon


Według działów
matematyki

analiza matematyczna
rachunek różniczkowy i całkowy
logika
teoria grafów
teoria liczb


Stałe matematyczne

Edytuj szablon

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. 34; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. .

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:

Nazwa Znak Unicode Kod HTML
Jedna czwarta ¼ U+00BC &#xBC; lub &#188;
Jedna druga ½ U+00BD &#xBD; lub &#189;
Trzy czwarte ¾ U+00BE &#xBE; lub &#190;
Jedna siódma U+2150 &#x2150; lub &#8528;
Jedna dziewiąta U+2151 &#x2151; lub &#8529;
Jedna dziesiąta U+2152 &#x2152; lub &#8530;
Jedna trzecia U+2153 &#x2153; lub &#8531;
Dwie trzecie U+2154 &#x2154; lub &#8532;
Jedna piąta U+2155 &#x2155; lub &#8533;
Dwie piąte U+2156 &#x2156; lub &#8534;
Trzy piąte U+2157 &#x2157; lub &#8535;
Cztery piąte U+2158 &#x2158; lub &#8536;
Jedna szósta U+2159 &#x2159; lub &#8537;
Pięć szóstych U+215A &#x215A; lub &#8538;
Jedna ósma U+215B &#x215B; lub &#8539;
Trzy ósme U+215C &#x215C; lub &#8540;
Pięć ósmych U+215D &#x215D; lub &#8541;
Siedem ósmych U+215E &#x215E; lub &#8542;
Jedna ... U+215F &#x215F; lub &#8543;

Zobacz też[edytuj]