Abstrakcja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Abstrakcja - sposób rozumowania leżący u podstaw matematyki, polegający na odrzuceniu części cech przedmiotów fizycznych w celu wyeksponowania cech pożądanych. Wszystkie obiekty matematyczne powstały na tej drodze. Utworzone w ten sposób obiekty są obiektami idealnymi, a nie realnymi.

Abstrakcja często przybiera formy abstrakcji wielostopniowej. Przykładem może być geometria Euklidesa, która stworzyła system obiektów i związków między nimi, bazując na pierwotnych abstrakcjach punktu i prostej. Następnie na tej bazie powstały przestrzenie metryczne, jako abstrakt abstraktu, a w końcu przestrzenie topologiczne jako abstrakt przestrzeni metrycznych.

Od strony formalnej abstrahowanie polega często na wprowadzaniu w klasie obiektów relacji równoważności i badaniu klas abstrakcji takich relacji. Stąd klasy elementów równoważnych nazywa się klasami abstrakcji.

W matematyce współczesnej spotyka się też metodę uzyskiwania pojęć abstrakcyjnych drogą idealizacji. Polega ona na wyobrażeniu sobie własności czy cech w rzeczywistości nie występujących. Przykładem może tutaj być idea aktualnej nieskończoności, która leży u podstaw teoriomnogościowych podstaw matematyki. Związane z tą ideą są takie pojęcia jak moc zbioru, różne rodzaje nieskończoności , liczby porządkowe, indukcja pozaskończona, pewnik wyboru, itp. U podstaw tej idei leżało odkrycie faktu, że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Punkt w przestrzeni jest abstraktem miejsca (zapewne stąd wzięła się na przykład nazwa metoda miejsc geometrycznych). Każde miejsce ma w rzeczywistości swój kolor, strukturę, twardość itp., ale punkt abstrahuje od tych cech.
  • Każda figura w geometrii euklidesowej jest abstraktem.
  • Płaszczyzna euklidesowa jest abstraktem powierzchni Ziemi i jest to użyteczne np.w geodezji. Abstrahuje się w tym wypadku od drobnych (lub nawet większych) nierówności terenu.
  • Zbiór jest abstraktem. Abstrahujemy tutaj od wszystkich cech jego elementów poza tym, że są one elementami tego zbioru.
  • Tak zwany paradoksalny podział kuli Banacha - Tarskiego jest twierdzeniem abstrakcyjnym ze względu na korpuskularną naturę Świata. Ponadto jest przykładem roli idealizacji w odkrywaniu nowych własności obiektów znanych od dawna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. D. Hilbert: Podstawy geometrii. Dodatek VIII O nieskończoności (tłum. ros.). Wyd. 1. 1948.
  2. H. Weyl: Das Kontinuum.Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis. Lipsk, 1918.
  3. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.