Paradoks Banacha-Tarskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Paradoks Banacha-Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha-Tarskiego (Hausdorffa-Banacha-Tarskiego)paradoksalne twierdzenie teorii mnogości sformułowane i udowodnione przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924.

Pozorny paradoks polega na tym, że korzystając z pewnika wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę "rozciąć" na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Nie jest to jednak istotna sprzeczność, jako że części tego podziału nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a (nie da się określić ich objętości), więc naturalna argumentacja oparta na intuicjach związanych z objętością przedmiotów w świecie rzeczywistym nie ma tu zastosowania.

Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego, z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne (należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym).

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki mają duże znaczenie we współczesnej matematyce, jako że wskazują one ograniczenia na możliwe rozszerzenia miary Lebesgue'a niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych[1].

Warto tu zacytować motto z jednej książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego[1]:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?
Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla, zachowując jego kształt sześcianu!
Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

Rys historyczny[edytuj]

Wstępne przykłady[edytuj]

  • W zasadzie już Galileusz[8] zauważył, że zbiór liczb naturalnych może być podzielony na dwie części z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór . Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych i jego dopełnienie, czyli zbiór liczb nieparzystych . Funkcja jest bijekcją z P na oraz funkcja jest bijekcją z na .
  • Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistejrównoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.
  • Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór . Określmy na tym zbiorze relację równoważności przez warunek
wtedy i tylko wtedy gdy jest liczbą wymierną.
Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór , który jest selektorem klas abstrakcji relacji . Zatem zbiór M spełnia następujące dwa warunki:
(a) oraz
(b) .
Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale jako sumę dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów A,B jest równoliczny ze zbiorem , a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne i . Rozważmy zbiory
i .
Wówczas , oraz funkcje
i
są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na metryki naturalne).

  • Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko obrotów. Niech zbiór M będzie wybrany jak powyżej. Dla połóżmy . Wówczas jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu O. Przypuśćmy, że jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję i zauważmy że
, gdzie jest obrotem o kąt .
  • Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech
,
,
.
Można łatwo sprawdzić, że , (przypomnijmy, że jest liczbą przestępną) oraz
gdzie jest obrotem, a
gdzie jest przesunięciem.

Rozkłady paradoksalne[edytuj]

Definicje[edytuj]

Przypuśćmy, że grupa G działa na zbiorze X.

  • Powiemy, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G , jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory (gdzie ) oraz elementy grupy G, takie że
oraz .

Intuicyjnie, A jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G, jeśli można podzielić zbiór A na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru A, używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy G.

  • Zbiór jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G , jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory oraz elementy grupy G, takie że
oraz .
  • Niech . Powiemy, że zbiory A i Bkawałkami -równoważne, jeśli można wybrać , , , oraz , tak że
(a) dla ,
(b) ,
(c) dla każdego .

Przykłady[edytuj]

  • Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
  • Zbiór Z podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.
Zbiory S(a-1) i aS(a-1) zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej F2
Animacja dowodu twierdzenia Banacha-Tarskiego za pomocą grafu Cayleya opartego na fraktalu
  • Rozważmy grupę wolną o dwóch generatorach a i b działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi odpowiada bijekcja .) Dla niech będzie zbiorem wszystkich elementów grupy (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od x. Zauważmy, że
i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz
i .
Zatem jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy .

Twierdzenia[edytuj]

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

  • Przypuśćmy, że
(a) grupa G działa na zbiorze X w taki sposób że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ),
(b) G jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy G (przez mnożenie z lewej strony).
Wówczas zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G.
  • Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna działa na zbiorze X w taki sposób, że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ), to zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy .
  • Istnieje przeliczalny podzbiór D sfery jednostkowej taki, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów .
  • Jeśli jest przeliczalny, to zbiory i kawałkami -równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

  • Sfera jednostkowa jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów .

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech będzie grupą izometrii przestrzeni .

  • Każda kula w jest paradoksalna ze względu na działanie grupy . Również sama przestrzeń jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
  • Jeśli zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory A, B są kawałkami -równoważne.


Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
  2. Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
  3. Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. "C. R. Acad. Sci. Paris."158 (1914), s. 618-619.
  4. Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. "Math. Ann." 75 (1915), s. 428-433.
  5. Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, "Fundamenta Mathematicae" 6 (1924), s. 244-277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
  6. Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), s. 21-22.
  7. Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. "J. Amer. Math. Soc." 7 (1994), s. 75-124.
  8. Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638

Linki zewnętrzne[edytuj]