Baza otoczeń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną, a . Powiemy że rodzina otoczeń punktu jest bazą otoczeń w punkcie jeśli każde otoczenie zawiera element .

Równoważnie, rodzina otoczeń punktu jest bazą otoczeń w jeśli

.

System otoczeń dla przestrzeni to rodzina taka, że jest bazą otoczeń w dla każdego .

Zauważmy, że w definicji tej nie wymaga się, by otoczenia były zbiorami otwartymi (choć będzie to zakładane w dalszym ciągu).

Dla zaznaczenia, że wszystkie elementy bazy otoczeń są zbiorami otwartymi, używa się zwrotu baza otoczeń otwartych w punkcie i podobnie dla systemów otoczeń.

Przykłady[edytuj]

  • Zbiór wszystkich otoczeń punktu jest bazą otoczeń w tym punkcie.
  • Jeśli jest przestrzenią dyskretną, to jest bazą otoczeń w . Jeśli jest przestrzenią antydyskretną, to jest bazą otoczeń w .
  • Jeśli jest przestrzenią metryczną z odległością i dla punktu oraz liczby dodatniej położymy , to wtedy rodzina jest bazą otoczeń w .

Charakteryzacja i własności[edytuj]

  • Załóżmy że jest systemem otoczeń otwartych w przestrzeni topologicznej . Wówczas następujące warunki (BP1)-(BP3) są spełnione:
(BP1) Dla każdego , i dla każdego mamy że .
(BP2) Jeśli , , to istnieje takie że .
(BP3) Dla każdych , , można znaleźć takie że .
  • Przypuśćmy że jest niepustym zbiorem i jest systemem rodzin podzbiorów zbioru spełniającym warunki (BP1)-(BP3). Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny . Wówczas jest topologią na i jest systemem otoczeń otwartych dla tej topologii. Często mówimy wtedy że jest topologią generowaną przez .

Powyższa obserwacja służy za podstawę jednej z metod definiowania topologii na danym zbiorze: przez podanie bazy otoczeń w każdym punkcie. Właśnie ta metoda jest przez nas użyta do zdefiniowania płaszczyzny Niemyckiego oraz przykładu przestrzeni T3 ale nie T3 1/2.

Funkcje kardynalne[edytuj]

Z pojęciem bazy otoczeń związane są następujące funkcje kardynalne:

  • Charakter punktu w przestrzeni topologicznej to najmniejsza możliwa moc bazy otoczeń w tym punkcie. Charakter punktu oznaczany jest przez .
  • Charakter przestrzeni jest zdefiniowany jako

.

Zobacz też[edytuj]