Płaszczyzna Niemyckiego
Wygląd
Płaszczyzna Niemyckiego – przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.
Konstrukcja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie górną półpłaszczyzną zawierającą oś odciętych, tzn. niech
W zbiorze można wprowadzić topologię poprzez określenie bazy otoczeń każdego punktu
- jeśli i to niech
- gdzie a oznacza standardową odległość na płaszczyźnie,
- jeśli to niech
- gdzie a
Przestrzeń topologiczna nazywana jest płaszczyzną Niemyckiego.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Płaszczyzna Niemyckiego jest ośrodkową przestrzenią Tichonowa (ośrodkiem tej przestrzeni jest, na przykład, zbiór tych punktów, które mają obydwie współrzędne wymierne).
- Przestrzeń ta zawiera domkniętą dyskretną podprzestrzeń mocy continuum (np. zbiór jest dyskretny i mocy continuum). W szczególności, jako przestrzeń ośrodkowa zawierająca podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, nie jest przestrzenią normalną.
- Każdy domknięty podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
- Przestrzeń jest zupełna w sensie Čecha.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Paweł Aleksandrow, Heinz Hopf: Topologie I. Wyd. pierwsze. Berlin: Springer, 1935.
- Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 36, 60, 71, 98, 273, 342, 391, 400.