Bukiet (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Bukietem dwóch przestrzeni topologicznych nazywamy przestrzeń topologiczną powstałą poprzez "sklejenie" tych przestrzeni w jednym punkcie. Mówiąc ściśle, jeśli są przestrzeniami topologicznymi z punktami wyróżnionymi , to przez ich bukiet rozumiemy przestrzeń ilorazową sumy rozłącznej tych przestrzeni poprzez najmniejszą relację równoważności utożsamiającą punkty i :

Ogólniej, jeśli jest rodziną przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi , to bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń

Rezultat powyższej konstrukcji zależy na ogół od wyboru punktów wyróżnionych .

Przykłady[edytuj]

Bukiet dwóch okręgów jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie cyfry 8.

Rozważmy najmniejszą relację równoważności utożsamiającą wszystkie punkty leżące na równiku sfery n-wymiarowej . Przestrzeń ilorazowa jest homeomorficzna z bukietem .

Rozważmy dwie kopie odcinka jednostkowego . Niech będą punktami wyróżnionymi. Jeśli , to bukiet jest homeomorficzny z odcinkiem. Jeśli i (lub i ), to bukiet jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery T. Jeśli zaś , to jest homeomorficzny z przestrzenią w kształcie litery X.

Opis teoriokategoryjny[edytuj]

Z punktu widzenia teorii kategorii bukiet jest koproduktem w kategorii przestrzeni topologicznych z punktami wyróżnionymi. Bukiet interpretować można również jako koprodukt włóknisty (pushout) diagramu w kategorii przestrzeni topologicznych ( oznacza tu dowolną przestrzeń jednopunktową).

Własności[edytuj]

Bukiet przestrzeni z punktami wyróżnionymi jest homeomorficzny z następującą podprzestrzenią produktu tych przestrzeni:

Własność ta nie przenosi się na bukiety nieskończonych rodzin przestrzeni topologicznych.

Z twierdzenia Seiferta-van Kampena wynika, że jeśli przestrzenie są odpowiednio "dobre" (np. są CW kompleksami), to grupa podstawowa bukietu tych przestrzeni jest izomorficzna z produktem wolnym grup podstawowych przestrzeni i .