Czwórnik (elektryka)

Czwórnik, dwuwrotnik – obwód elektryczny lub element obwodu, który posiada cztery zaciski, uporządkowane w dwie pary (nazywane także wrotami). Jedna z par stanowi wejście czwórnika, a druga wyjście.

W stosunku do wejścia i wyjścia czwórnika musi być spełniony warunek równoważenia prądów: $I_{1}=I_{1}'\wedge I_{2}=I_{2}'.$

Zastosowanie czwórnika w analizie obwodu umożliwia zastąpienie całości lub części obwodu elementem opisanym poprzez dwa równania liniowe. Pozwala to na znaczne uproszczenie analizy obwodu. Każdy czterozaciskowy obwód liniowy może zostać zastąpiony czwórnikiem, pod warunkiem, że nie zawiera niesterowanych źródeł napięciowych lub prądowych oraz spełnia powyższy warunek równoważenia prądów.

Metody opisu czwórników

Czwórniki mogą być opisane różnymi równaniami matematycznymi, w zależności od wyboru zmiennych. Są one zazwyczaj przedstawiane w postaci macierzowej. Opisują relacje pomiędzy napięciami i prądami wejściowymi oraz wyjściowymi czwórnika.

Napięcia i prądy na zaciskach czwórnika mogą być wielkościami skalarnymi (przy prądzie stałym), zespolonymi (w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym) lub wielkościami operatorowymi. Opis operatorowy jest najbardziej ogólny i pozwala badać czwórniki w stanie nieustalonym. Trzeba pamiętać, że jeśli analizujemy obwód w dziedzinie zespolonej, to macierz współczynników będzie zawierać liczby zespolone.

Każdy z przedstawionych tu typów macierzy jednoznacznie opisuje czwórnik. Wybór któregoś z nich uwarunkowany jest strukturą obwodu, sposobem połączenia czwórników, łatwością wyznaczenia parametrów itp. Przejście z jednego opisu do drugiego polega na przegrupowaniu zmiennych i wyznaczeniu odpowiednich relacji między nimi.

Postać impedancyjna

${\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

$\left\{{U_{1}=z_{11}I_{1}+z_{12}I_{2} \atop U_{2}=z_{21}I_{1}+z_{22}I_{2}}\right.$

gdzie:

$z_{11}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\qquad z_{12}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$

$z_{21}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\qquad z_{22}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$

W tej postaci napięcia wejściowe i wyjściowe są wyrażone w zależności od prądów końcówkowych. Macierz Z współczynników jest nazywana macierzą impedancyjną. Elementy tej macierzy, nazywane także parametrami rozwarciowymi, mają wymiar omów.

Postać admitancyjna

${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}$

$\left\{{I_{1}=y_{11}U_{1}+y_{12}U_{2} \atop I_{2}=y_{21}U_{1}+y_{22}U_{2}}\right.$

gdzie:

$y_{11}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\qquad y_{12}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$

$y_{21}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\qquad y_{22}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$

W tej postaci prądy wejściowe i wyjściowe są wyrażone w zależności od napięć zewnętrznych. Macierz Y współczynników jest nazywana macierzą admitancyjną. Elementy tej macierzy, nazywane także parametrami zwarciowymi, mają wymiar simensów. Macierze Z i Y są powiązane relacją: $Y=Z^{-1}$

Postać hybrydowa (mieszana)

${\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}$

$\left\{{U_{1}=h_{11}I_{1}+h_{12}U_{2} \atop I_{2}=h_{21}I_{1}+h_{22}U_{2}}\right.$

gdzie:

$h_{11}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\qquad h_{12}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$

$h_{21}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\qquad h_{22}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}$

W tej postaci jedna para wielkości U₁, I₂ jest wyrażona jako funkcja drugiej pary I₁, U₂. Macierz H nazywana jest macierzą hybrydową. Element h₁₁ nazywany jest impedancją wejściową, h₁₂ – transmitancją odwrotną napięciową, h₂₁ – transmitancją prądową, a h₂₂ – admitancją wyjściową czwórnika.

Postać hybrydowa odwrotna

${\begin{bmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

$\left\{{I_{1}=g_{11}U_{1}+g_{12}I_{2} \atop U_{2}=g_{21}U_{1}+g_{22}I_{2}}\right.$

gdzie:

$g_{11}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\qquad g_{12}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$

$g_{21}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\qquad g_{22}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}$

W tej postaci jedna para wielkości I₁, U₂ jest wyrażona jako funkcja drugiej pary U₁, I₂. Macierz G nazywana jest macierzą odwrotną hybrydową. Macierze H i G są powiązane relacją: $G=H^{-1}$

Postać łańcuchowa

${\begin{bmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}$

$\left\{{U_{1}=AU_{2}+B(-I_{2}) \atop I_{1}=CU_{2}+D(-I_{2})}\right.$

gdzie:

${\begin{aligned}A&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&\qquad B&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {U_{1}}{-I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}\\C&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&\qquad D&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\tfrac {I_{1}}{-I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}\end{aligned}}$

W tej postaci para wielkości dotyczących zacisków wejściowych wyrażona jest jako funkcja pary związanej z zaciskami wyjściowymi. Macierz A nazywana jest macierzą łańcuchową. Elementy tej macierzy nazywane są parametrami transmisyjnymi.

Postać łańcuchowa odwrotna

${\begin{bmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\frac {1}{detA}}{\begin{bmatrix}D&B\\C&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\-I_{1}\end{bmatrix}}$

$\left\{{detA\cdot U_{2}=DU_{1}+B(-I_{1}) \atop detA\cdot I_{2}=CU_{1}+A(-I_{1})}\right.$

gdzie:

${\begin{aligned}D&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.detA\cdot {\tfrac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&\qquad B&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.detA\cdot {\tfrac {U_{2}}{-I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}\\C&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.detA\cdot {\tfrac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&\qquad A&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.detA\cdot {\tfrac {I_{2}}{-I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}\end{aligned}}$

W tej postaci para wielkości dotyczących zacisków wyjściowych wyrażona jest jako funkcja pary związanej z zaciskami wejściowymi. Macierz B nazywana jest macierzą łańcuchową odwróconą. Ta postać jest rzadko stosowana.

Łączenie czwórników

Wyróżniamy następujące typy połączeń czwórników:

• łańcuchowe
• równoległe
• szeregowe
• równoległo-szeregowe

Podział czwórników

Czwórniki można dzielić na:

• liniowe/nieliniowe (liniowy – jeżeli wszystkie elementy wchodzące w skład struktury czwórnika są liniowe),
• odwracalne/nieodwracalne (odwracalny, jeśli spełnia on zasadę wzajemności: „Jeżeli do zacisków wejściowych czwórnika odwracalnego doprowadzimy idealne źródło napięcia E, które w zwartym obwodzie wyjścia wywoła prąd I, to po przemieszczeniu tego źródła do wyjścia, w zwartym obwodzie wejścia też popłynie prąd I”),
• symetryczne/niesymetryczne (symetryczny, jeśli przy zamianie miejscami wejścia i wyjścia nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie poza czwórnikiem),
• pasywne/aktywne (aktywny – charakteryzuje się tym, że w jego schemacie zastępczym występuje źródło sterowane lub niesterowane).

Przykłady czwórników

• filtr
• linia długa
• transformator
• tranzystor w odpowiedniej konfiguracji
• układ całkujący
• układ różniczkujący
• wzmacniacz

Zobacz też

• dwójnik
• wielowrotnik

Bibliografia

• Czwórniki. W: Stanisław Bolkowski: Teoria Obwodów Elektrycznych. WNT, 2012. ISBN 978-83-63623-28-9. Brak numerów stron w książce
• Two-Port Networks. W: Charles Alexander, Matthew Sadiku: Fundamentals of Electric Circuits. McGraw Hill, 2013. ISBN 978-0-07-338057-5. Brak numerów stron w książce