Element algebraiczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element algebraiczny – uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja[edytuj]

Niech będzie podciałem ciała . Element nazywamy elementem algebraicznym nad wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała , którego pierwiastkiem jest .

Element nie będący algebraicznym nad nazywamy elementem przestępnym nad w ciele .

Własności[edytuj]

  • Zbiór wszystkich elementów ciała algebraicznych nad tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała .
  • Jeśli jest elementem algebraicznym nad , to
(por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)
  • Dla każdego elementu algebraicznego nad istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy o współczynnikach z ciała (tj. element pierwszy w pierścieniu ), którego pierwiastkiem jest . Wielomian nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego . Zachodzi . Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego .

Bibliografia[edytuj]