Element nilpotentny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element nilpotentny lub nilpotent pierścienia - element pierścienia o tej własności, że

dla pewnej liczby naturalnej . W każdym pierścieniu 0 (element neutralny dodawania) jest elementem nilpotentnym.

Własności[edytuj]

Twierdzenie. Niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera.

Dowód. Niech będzie niezerowym elementem nilpotentnym pierścienia . Oznacza to, że dla pewnego zachodzi . Ponieważ, z założenia, element jest niezerowy, to . Oznacza to, że

co dowodzi tezy.

Twierdzenie. Suma dwóch elementów nilpotentnych, które są ze sobą przemienne, jest także elementem nilpotentnym.

Dowód. Niech będzie pierścieniem przemiennym, a dwoma elementami nilpotentnymi. Oznaczmy przez liczby takie, że i . Ponieważ, z założenia, elementy i są ze sobą przemienne, to możemy zastosować wzór Newtona dla wyrażenia , otrzymując

Dla zachodzi , czyli i składniki odpowiadające tym indeksom są zerami. Pozostałe składniki odpowiadają , czyli w tym przypadku . Oznacza to, że wszystkie składniki w powyższej sumie są zerami, a więc i cała suma jest zerem. Element jest więc elementem nilpotentnym.

Wniosek. W pierścieniu przemiennym suma dowolnych dwóch elementów nilpotentnych jest elementem nilpotentnym.

Twierdzenie. W pierścieniu przemiennym z jedynką suma elementu nilpotentnego i elementu odwracalnego jest elementem odwracalnym.

Dowód. Niech będzie nilpotentem (). Wówczas . Jeśli elementem odwracalnym (z twierdzenia) jest jedynka, to teza wynika z tożsamości:

Dla dowolnego odwracalnego zachodzi:

Ponieważ jest nilpotentem (), z założenia o odwracalności i z pierwszej części dowodu wynika teza.

Przykłady[edytuj]

W przypadku liczb rzeczywistych wiemy, że potęga naturalna dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest także niezerowa. Oznacza to, że jedynym elementem nilpotentnym jest zero. To samo rozumowanie prowadzi do analogicznego wniosku dla liczb całkowitych, wymiernych i zespolonych. Wynik ten można uogólnić. Zauważmy, że każdy niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera, a więc jeśli pierścień nie zawiera dzielników zera, to nie zawiera także nietrywialnych elementów nilpotentnych.

W pierścieniu nilpotentne są elementy . Istotnie, jest oraz . Pozostałe elementy są odwracalne, a więc nie są dzielnikami zera i w rezultacie nie są nilpotentami.

Pierścień zredukowany[edytuj]

Pierścień, który nie zawiera niezerowych elementów nilpotentnych nazywany jest pierścieniem zredukowanym. Na przykład, pierścień liczb rzeczywistych jest zredukowany. Ponadto, C*-algebra jest zredukowana wtedy i tylko wtedy, gdy jest przemienna[1]. Każdy element idempotentny pierścienia zredukowanego należy do centrum.

Przypisy

  1. I. Kaplansky, Ring isomorphisms on Banach algebras, Can. J. Math. 6 (1954), 374-381

Zobacz też[edytuj]