Pierścień z jedynką

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierścień z jedynkąpierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia oznaczana jako spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

dla każdego elementu pierścienia

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to Jeśli jest homomorfizmem pierścieni i jest jedynką pierścienia to jest jedynką pierścienia W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia[edytuj | edytuj kod]

Dowolny pierścień można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim zdefiniować dwa działania:

Łatwo sprawdzić, że struktura z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz że para jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

jest podpierścieniem pierścienia izomorficznym z Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie w Pierścień jest przy tym ideałem pierścienia

Jeśli oznaczyć jako to gdzie oraz można zapisać w postaci

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]