Epicykloida

Epicykloida – krzywa, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu na zewnątrz innego, nieruchomego okręgu. Epicykloida jest szczególnym przypadkiem epitrochoidy.

Kształt epicykloidy zależy od stosunku ${\textstyle {\frac {R}{r}}}$${\textstyle {\frac {R}{r}}}$ promieni okręgów, nieruchomego do toczącego się. Gdy promienie są równe otrzymuje się krzywą sercową, z grecka zwaną kardioidą (sercowata od gr. καρδιά – serce).

Opis matematyczny

Epicykloidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

$x=(R+r)\cos(t)-r\cos \left({\frac {R+r}{r}}t\right)$$x=(R+r)\cos(t)-r\cos \left({\frac {R+r}{r}}t\right)$

$y=(R+r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R+r}{r}}t\right)$$y=(R+r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R+r}{r}}t\right)$

Przykłady

Poniższe rysunki pokazują kilka epicykloid dla różnych wartości ilorazów ${\textstyle {\frac {R}{r}}}$${\textstyle {\frac {R}{r}}}$.

• powstawanie kardioidy i kardioida statycznie:

• epicykloida ${\textstyle {\frac {R}{r}}=2}$${\textstyle {\frac {R}{r}}=2}$ (zwana też nefroidą) – powstawanie i krzywa statycznie:

• epicykloida ${\textstyle {\frac {R}{r}}=3}$${\textstyle {\frac {R}{r}}=3}$ – powstawanie i krzywa statycznie:

Jeżeli stosunek ${\textstyle {\frac {R}{r}}}$${\textstyle {\frac {R}{r}}}$ jest liczbą niewymierną, otrzymuje się krzywą otwartą. Kolejne przybliżenia takiej sytuacji pokazują poniższe rysunki:

Zobacz też

• epicentrum
• hipocykloida
• cykloida

Linki zewnętrzne

• http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html.