Epicykloida

Epicykloida – krzywa, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu na zewnątrz innego, nieruchomego okręgu. Epicykloida jest szczególnym przypadkiem epitrochoidy.

Kształt epicykloidy zależy od stosunku ${\tfrac {R}{r}}$ promieni okręgów, nieruchomego do toczącego się. Gdy promienie są równe otrzymuje się krzywą sercową, z grecka zwaną kardioidą (sercowata od gr. καρδιά – serce).

Opis matematyczny

Epicykloidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

$x=(R+r)\cos(t)-r\cos \left({\frac {R+r}{r}}t\right),$

$y=(R+r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R+r}{r}}t\right).$

Przykłady

Poniższe rysunki pokazują kilka epicykloid dla różnych wartości ilorazów ${\tfrac {R}{r}}.$

• powstawanie kardioidy i kardioida statycznie:

• epicykloida ${\tfrac {R}{r}}=2$ zwana też nefroidą – powstawanie i krzywa statycznie:

• epicykloida ${\frac {R}{r}}=3$ – powstawanie i krzywa statycznie:

Jeżeli stosunek ${\frac {R}{r}}$ jest liczbą niewymierną, otrzymuje się krzywą otwartą. Kolejne przybliżenia takiej sytuacji pokazują poniższe rysunki:

Zobacz też

• cykloida
• epicentrum
• hipocykloida

Linki zewnętrzne

O epicykloidach ogółem:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Evolute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Involute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Epicycloid Radial Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Epicycloid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].
• Epicycloid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].

O nefroidach:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nephroid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nephroid Evolute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nephroid Involute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Nephroid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].