Cykloida

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zakreślanie Cykloidy

Cykloidakrzywa, jaką zakreśla punkt leżący na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej.

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci[1]:

x=r\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}
y=r\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix},

gdzie:

t \in \mathbb{R},\ r>0.

Rozwiązując równania ogólne dla t otrzymuje się:

x = 2\pi rk \pm \left( r\,\arccos \left(1 - \frac{y}{r}\right) - \sqrt{y(2r - y)} \right )

gdzie:

k \in \mathbb{Z},\ r>0,\ 0 \leq y \leq 2r.

Cykloida jest też związana z zagadnieniem krzywej najkrótszego spadku (brachistochrony) będącej fragmentem łuku cykloidy oraz krzywej będącej odwróconą cykloidą (tautochroną), po której masa punktowa stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej.

Uogólnienie pojęcia cykloidy[edytuj | edytuj kod]

Równania ogólne postaci[2][3]:

x=rt-c\cdot\sin t
y=r-c\cdot\cos t,

gdzie:

t \in \mathbb{R},\ r>0,\ c>0.

Zależność odległości c punktu zakreślającego krzywą od środka toczącego się koła i promienia r tego koła jest następująca:

  • dla c<r cykloidę skróconą, zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła[2] (linia czerwona na poniższym rysunku),
  • dla c>r cykloidę wydłużoną zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła[3] (linia niebieska).
  • dla c=r zwykłą cykloidę zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).

Cykloidy (wydłużona, zwykła i skrócona) dla punktu położonego w różnych miejscach koła o promieniu r=1

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy