Cykloida

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zakreślanie Cykloidy

Cykloidakrzywa, jaką opisuje tor punktu leżącego na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej.

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci[1]:

x=r\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}
y=r\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix},

gdzie:

t \in \mathbb{R},\ r>0.

Rozwiązując równania ogólne dla t otrzymuje się:

x = 2\pi rk \pm \left( r\,\arccos \left(1 - \frac{y}{r}\right) - \sqrt{y(2r - y)} \right )

gdzie:

k \in \mathbb{Z},\ r>0,\ 0 \leq y \leq 2r.

Cykloida jest też związana z zagadnieniem krzywej najkrótszego spadku (brachistochrona), będącą fragmentem łuku cykloidy oraz krzywej (tautochrona) będącą odwróconą cykloidą, po której czas staczania się masy punktowej do najniższego jej punktu jest taki sam, niezależnie od punktu startowego na niej.

Uogólnienie pojęcia cykloidy[edytuj | edytuj kod]

Równania ogólne postaci[2][3]:

x=rt-c\cdot\sin t
y=r-c\cdot\cos t,

gdzie:

t \in \mathbb{R},\ r>0,\ c>0.

Zależność odległości c punktu opisującego krzywą od środka toczącego się koła i promienia r tego koła określa:

  • dla c<r cykloidę skróconą, zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła[2] (linia czerwona na poniższym rysunku),
  • dla c>r cykloidę wydłużoną zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła[3] (linia niebieska).
  • dla c=r zwykłą cykloidę zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).

Cykloidy (wydłużona, zwykła i skrócona) dla punktu położonego w różnych miejscach koła o promieniu r=1

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy