Hipocykloida

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Hipocykloidakrzywa płaska, jaką opisuje ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu. Krzywa ta jest szczególnym przypadkiem hipotrochoidy.

Kształt hipocykloidy (liczba ostrzy) zależy od ilorazu {\textstyle \frac{R}{r}} promieni okręgów, nieruchomego do toczącego się.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Hipocykloidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

x = (R-r)\cos(t) + r \cos\left(\frac {R-r} r\,t\right)
y = (R-r)\sin(t) - r \sin\left(\frac {R-r} r\,t\right)

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Poniższe rysunki pokazują kilka hipocykloid dla różnych wartości ilorazów {\textstyle \frac{R}{r}}

  • hipocykloida {\textstyle \frac{R}{r} =3} (zwana też deltoidą) – powstawanie i krzywa statycznie:
Hypocycloid animation.gif Hipocykloida2.svg
  • hipocykloida {\textstyle \frac{R}{r} =4} (zwana też asteroidą) – powstawanie i krzywa statycznie:
Hypocycloid 4 to 1 animation.gif Asteroida2.svg
  • dla {\textstyle \frac{R}{r} =2} hipocykloida redukuje się do średnicy dużego okręgu – fakt ten jest znany jako twierdzenie Kopernika i może być wykorzystany do zamiany ruchu obrotowego na posuwisto-zwrotny:
Hypocycloid simple animation.gif

Jeżeli stosunek {\textstyle \frac{R}{r}} jest liczbą niewymierną, hipocykloida jest linią otwartą, a zbiór jej wierzchołków jest gęstym podzbiorem okręgu. Poniższe rysunki przedstawiają taką sytuację z tym, że parametr t przebiega skończony przedział, [−10, 100] oraz [−10, 1000]:

Hypocycloid 100.png Hypocycloid 1000.png

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]