Hipocykloida

przykładowe hipocykloidy, m.in. deltoida $\left({\frac {R}{r}}=3\right)$ i astroida $\left({\frac {R}{r}}=4\right)$

Hipocykloida – krzywa płaska, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu. Krzywa ta jest szczególnym przypadkiem hipotrochoidy.

Kształt hipocykloidy (liczba ostrzy) zależy od ilorazu ${\tfrac {R}{r}}$ promieni okręgów, nieruchomego do toczącego się.

Opis matematyczny

Hipocykloidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi:

$x=(R-r)\cos(t)+r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right),$

$y=(R-r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).$

Przykłady

Poniższe rysunki pokazują kilka hipocykloid dla różnych ilorazów ${\tfrac {R}{r}}.$

Odcinek

Dla stosunku promieni równego dwa $({\tfrac {R}{r}}=2)$ hipocykloida redukuje się do odcinka, a konkretniej do średnicy większego okręgu. Ten fakt jest znany jako twierdzenie Kopernika i może być wykorzystany do zamiany ruchu obrotowego na posuwisto-zwrotny:

Deltoida

• hipocykloida ${\tfrac {R}{r}}=3$ to inaczej deltoida:

Astroida

Asteroida jako ewoluta elipsy

Hipocykloida ${\tfrac {R}{r}}=4$ (zwana też asteroidą lub astroidą) – powstawanie i krzywa statycznie:

Inne hipocykloidy

Jeżeli stosunek ${\tfrac {R}{r}}$ jest liczbą niewymierną, hipocykloida jest linią otwartą, a zbiór jej wierzchołków jest gęstym podzbiorem okręgu. Poniższe rysunki przedstawiają taką sytuację z tym, że parametr $t$ przebiega skończony przedział, [−10, 100] oraz [−10, 1000]:

Zobacz też

• cykloida
• epicykloida
• lista krzywych

Linki zewnętrzne

O hipocykloidach ogółem:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid Evolute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid Involute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Hypocycloid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].
• Hypocycloid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].

O astroidach:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Astroid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Astroid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Astroid Radial Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Astroid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
• Astroid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].