Równanie parametryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne - pojęcie matematyczne definiujące relację przy użyciu parametrów. Najprostsze zastosowanie widać na przykładzie wziętym z zagadnień kinematyki, kiedy to jednym parametrem czasu można opisać położenie ciała, jego prędkość i inne wielkości fizyczne dotyczące ciała w ruchu. Ogólnie przy pomocy równań parametrycznych definiuje się relację jako zbiór równań.

Przykłady dwuwymiarowe[edytuj]

Parabola[edytuj]

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru t w następujący sposób:

Okrąg[edytuj]

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz a okrąg o promieniu a:

gdzie

Przykłady trójwymiarowe[edytuj]

Helisa[edytuj]

Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

gdzie ,

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu a, która wznosi się o 2πb co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

Powierzchnie parametryczne[edytuj]

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany jako

gdzie

Zastosowanie[edytuj]

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż jedno z równań można różniczkować a inne całkować. Przykładem zastosowania może być wyrażenie prędkości jako sparametryzowanej drogi przebytej przez ciało (w każdym wymiarze odpowiednio) jako:

natomiast przyspieszenie jako:

Ogólnie krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru (zazwyczaj oznaczanego jako t). W sytuacji, gdy są dwa lub więcej parametrów, mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania[edytuj]

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej z równań . Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla t, wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne x oraz y. Jeśli i są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej t. Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie.[1]

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu a

,

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych x oraz y korzystając z jedynki trygonometrycznej:

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy