Równanie parametryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Parabola[edytuj | edytuj kod]

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru w następujący sposób:

Okrąg[edytuj | edytuj kod]

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu

gdzie

Przykłady trójwymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Helisa[edytuj | edytuj kod]

Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

gdzie

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu która wznosi się o co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

Powierzchnie parametryczne[edytuj | edytuj kod]

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów

gdzie

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania[edytuj | edytuj kod]

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej z równań Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne oraz Jeśli i są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych oraz korzystając z jedynki trygonometrycznej:

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]