Równanie parametryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne - pojęcie matematyczne definiujące relację przy użyciu parametrów. Najprostsze zastosowanie widać na przykładzie wziętym z zagadnień kinematyki, kiedy to jednym parametrem czasu można opisać położenie ciała, jego prędkość i inne wielkości fizyczne dotyczące ciała w ruchu. Ogólnie przy pomocy równań parametrycznych definiuje się relację jako zbiór równań.

Przykłady dwuwymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Parabola[edytuj | edytuj kod]

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

y = x^2\,

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru t w następujący sposób:

x = t\,
y = t^2.\,

Okrąg[edytuj | edytuj kod]

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz a okrąg o promieniu a:

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t),\,

gdzie t \in [0 , 2 \pi )

Przykłady trójwymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Helisa[edytuj | edytuj kod]

Spirala

Równania parametryczna są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t)\,
z = bt\,

gdzie a > 0\;, t\in[0,2\pi)\;\,

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę o promieniu a, która wznosi się o 2πb co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t).\,

Powierzchnie parametryczne[edytuj | edytuj kod]

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R, którego promień wynosi r, może być sparametryzowany jako

x = \cos(t)(R + r \cos(u))\;
y = \sin(t)(R + r \cos(u))\;
z = r \sin(u)\;,

gdzie t \in [0 , 2 \pi ), u \in [0 , 2 \pi ).

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż jedno z równań można różniczkować a inne całkować. Przykładem zastosowania może być wyrażenie prędkości jako sparametryzowanej drogi przebytej przez ciało (w każdym wymiarze odpowiednio) jako:

v(t) = r'(t) = ((x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,

natomiast przyspieszenie jako:

a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,

Ogólnie krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru (zazwyczaj oznaczanego jako t). W sytuacji są dwa lub więcej parametrów, mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania[edytuj | edytuj kod]

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej t z równań x=x(t),\ y=y(t). Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla t, wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie w którym występować będą tylko zmienne x oraz y. Jeśli x(t) i y(t) są funkcjami wymiernymi wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej t. Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie.[1]

Dla przykładu weżmy okrąg o promieniu a

x = a \cos(t)\,
y = a \sin(t)\,
a > 0\;, t\in[0,2\pi)\;

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych x oraz y korzystając z jedynki trygonometrycznej:

x/a = \cos(t)\,
y/a = \sin(t)\,
\cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1\,\!
\therefore (x/a)^2 + (y/a)^2 = 1,

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy