Iloczyn Eulera

Iloczyn Eulera, produkt Eulera (ang. Euler product) – sposób przedstawienia szeregu liczbowego w postaci nieskończonego iloczynu po liczbach pierwszych. W analitycznej teorii liczb jest to często wykorzystywana postać szeregu w dowodach różnych twierdzeń. Swoją nazwę bierze od Leonharda Eulera, który po raz pierwszy przedstawił go dla funkcji zeta Riemanna.

Definicja

Niech $f$ będzie ograniczoną multiplikatywną funkcją arytmetyczną. Wówczas szereg Dirichleta

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

jest dla wszystkich $s$ takich, że $\Re (s)>1$ równy

$\prod _{p}\left(1+{\frac {f(p)}{p^{s}}}+{\frac {f(p^{2})}{p^{2s}}}+\ldots \right)=\prod _{p}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}},$

gdzie ${\textstyle \prod _{p}}$ oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych. Ponadto, jeśli $f$ jest całkowicie multiplikatywna, to występujące w iloczynie szeregi są geometryczne, a cały iloczyn ten jest równy

$\prod _{p}\left(1-{\frac {f(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.$

Przykłady

Funkcja zeta Riemanna

Niech $\zeta$ będzie funkcją zeta Riemanna, zdefiniowaną jako

$\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

dla dowolnej liczby zespolonej $s,$ przy $\Re (s)>1.$ Wówczas

$\zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.$

Z funkcją $\zeta$ związanych jest więcej iloczynów Eulera, które wykorzystywane są w dowodach twierdzeń korzystających z jej własności.

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}},$

gdzie $\lambda$ jest funkcją Liouville’a.

$\zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

oraz

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}},$

gdzie $\mu$ to funkcja Möbiusa.

Funkcje L Dirichleta

Funkcja zeta jest szczególnym przypadkiem o wiele szerszej klasy funkcji L Dirichleta. Niech

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},$

gdzie $\chi$ jest ustalonym charakterem Dirichleta przy danym module $q,$ a $s$ jest dowolną liczbą zespoloną z $\Re (s)>1.$ Wtedy

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.$