Interpolacja trygonometryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Interpolacja trygonometryczna – metoda przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Interpolacja za pomocą wielomianu trygonometrycznego daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, z faktu, że nie posiadają okresowości, powodują duże błędy przy przybliżaniu tego typu funkcji.

Szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy punkty węzłowe są równoodległe. W takim przypadku rozwiązaniem jest dyskretna transformata Fouriera.

Metoda ogólna[edytuj]

Opracowano na podstawie materiału źródłowego[1].

Założeniem każdej interpolacji jest: gdzie:

Wtedy:

  • Dla nieparzystej ilości punktów węzłowych:
  • Dla parzystej ilości punktów węzłowych:
  • Dla obu powyższych przypadków:

Przykład[edytuj]

Punkty węzłowe z przykładu i funkcja interpolująca przez nie przechodząca
Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:



Rozwiązanie[edytuj]

Ilość punktów interpolowanych: (parzyste)
Stopień:

Odpowiedź[edytuj]

Wielomian zespolony[edytuj]

Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:

,

gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że , wtedy

Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej[2].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b Interpolacja Trygonometryczna i Szybka Transformata Fouriera. Uniwersytet Warszawski. [dostęp 2011-04-01].
  2. Interpolation using Fourier Polynomials (ang.). [dostęp 2011-03-26]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-06-11)].