Kostka Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Kostka kantora w trójwymiarze

Kostka Cantora (ciężaru gdzie jest nieskończoną liczbą kardynalną) – przestrzeń produktowa kopii zbioru z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru oznacza jest zwykle symbolem – dokładniej:

gdzie jest dowolnym zbiorem mocy oraz dla każdego zbiór jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np.

Dla przestrzeń nazywamy zbiorem Cantora.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Ciężar kostki wynosi dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej
  • Kostka Cantora jest ciągowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ciężar jest przeliczalny.
  • Kostka Cantora jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zerowymiarowych o ciężarze
  • Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa o ciężarze jest ciągłym obrazem domkniętej podprzestrzeni kostki Cantora

Przestrzenie diadyczne[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.

  • Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru jest ciężar przestrzeni X, tzn. [1].
  • Każda przestrzeń diadyczna ciężaru zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru[2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. B. Efimov, R. Engelking, Remarks on dyadic spaces. II. Colloq. Math. 13 (1965) s. 181–197.
  2. H. LeRoy Peterson. On dyadic subspaces. Pacific J. Math. Volume 31, Number 3 (1969), s. 773–775. [1].