Kostka Cantora
Wygląd
Kostka Cantora (ciężaru gdzie jest nieskończoną liczbą kardynalną) – przestrzeń produktowa kopii zbioru z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru oznacza jest zwykle symbolem – dokładniej:
gdzie jest dowolnym zbiorem mocy oraz dla każdego zbiór jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np.
Dla przestrzeń nazywamy zbiorem Cantora.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Ciężar kostki wynosi dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej
- Kostka Cantora jest ciągowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ciężar jest przeliczalny.
- Kostka Cantora jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zerowymiarowych o ciężarze
- Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa o ciężarze jest ciągłym obrazem domkniętej podprzestrzeni kostki Cantora
Przestrzenie diadyczne
[edytuj | edytuj kod]Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.
- Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru jest ciężar przestrzeni X, tzn. [1].
- Każda przestrzeń diadyczna ciężaru zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru[2].
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ B. Efimov, R. Engelking, Remarks on dyadic spaces. II. Colloq. Math. 13 (1965) s. 181–197.
- ↑ H. LeRoy Peterson. On dyadic subspaces. Pacific J. Math. Volume 31, Number 3 (1969), s. 773–775. [1].