Kostka Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kostka Cantora (ciężaru , gdzie jest nieskończoną liczbą kardynalną) - przestrzeń produktowa kopii zbioru z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru oznacza jest zwykle symbolem - dokładniej:

,

gdzie jest dowolnym zbiorem mocy oraz dla każdego zbiór jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np. .

Dla przestrzeń nazywamy zbiorem Cantora.

Własności[edytuj kod]

  • Ciężar kostki wynosi dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej .
  • Kostka Cantora jest ciągowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ciężar jest przeliczalny.
  • Kostka Cantora jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zerowymiarowych o ciężarze .
  • Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa o ciężarze jest ciągłym obrazem domkniętej podprzestrzeni kostki Cantora .

Przestrzenie diadyczne[edytuj kod]

Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.

  • Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru jest ciężar przestrzeni X, tzn. [1].
  • Każda przestrzeń diadyczna ciężaru zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru.[2].

Przypisy

  1. B. Efimov, R. Engelking, Remarks on dyadic spaces. II. Colloq. Math. 13 (1965) ss. 181-197.
  2. H. LeRoy Peterson. On dyadic subspaces. Pacific J. Math. Volume 31, Number 3 (1969), ss. 773-775. [1]

Zobacz też[edytuj kod]