Kostka Tichonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kostka Tichonowa - konstrukcja mnogościowa w topologii, będąca przykładem przestrzeni uniwersalnej dla przestrzeni Tichonowa i przestrzeni zwartych.

Definicja[edytuj]

Kostką Tichonowa wagi , gdzie jest nieskończoną liczbą kardynalną, nazywamy przestrzeń produktową

,

gdzie dla każdego elementu zbioru ( jest zbiorem mocy ).

Kostkę z metryką

nazywamy kostką Hilberta. Metryka wyznacza topologię w zbiorze identyczną z topologią Tichonowa (tj. wyjściową topologią kostki Tichonowa o wadze ).

Własności[edytuj]

  • Kostka Tichonowa wagi jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni Tichonowa o wadze nieskończonej wadze .
  • Kostka Tichonowa wagi jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zwartych o nieskończonej wadze .
  • Na mocy twierdzenia Tichonowa, każda kostka Tichonowa jest zwarta.
  • Topologia wyznaczona przez metrykę w kostce Hilberta pokrywa się z jej topologią Tichonowa.
  • Twierdzenie Tichonowa: Każda przestrzeń Tichonowa jest homeomorficzna z podprzestrzenią kostki Tichonowa o wadze równej wadze tej przestrzeni.
  • Kostka Tichonowa (nieskończonej) wagi jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy .

Literatura[edytuj]

  1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.

Zobacz też[edytuj]