Przestrzeń zerowymiarowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń zerowymiarowaprzestrzeń topologiczna (X, \tau), która ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych. Warunek ten jest równoważny stwierdzeniu, że przestrzeń X ma wymiar ind zero.

Czasami rozważa się przestrzenie wymiaru 0 względem wymiarów \operatorname{ind} lub \dim. Wówczas zwykle staramy się podkreślić, że chodzi o inne znaczenie zerowymiarowości niż podane powyżej (mówiąc np. że przestrzeń jest zerowymiarowa w sensie \dim).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami zerowymiarowymi:

przestrzeń Stone'a danej algebry Boole'a.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda zerowymiarowa przestrzeń T1 jest całkowicie regularna.
  • Jedynymi spójnymi podzbiorami przestrzeni zerowymiarowej są zbiory jednopunktowe i zbiór pusty.
  • Podprzestrzeń przestrzeni zerowymiarowej jest zerowymiarowa.
  • Jeśli X, Y są przestrzeniami topologicznymi, X jest zerowymiarowa, f: X \to Y jest funkcją ciągłą, która jest także odwzorowaniem otwartym i domkniętym, to f(X) jest przestrzenią zerowymiarową.
  • Każda zerowymiarowa przestrzeń T_1 jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Cantora 2^I (dla pewnego zbioru indeksów I).
  • Jeśli X jest przestrzenią metryczną z bazą przeliczalną, to następujące warunki są równoważne:
  • X jest przestrzenią zerowymiarową (w sensie \operatorname{ind}),
  • \operatorname{ind} X=0,
  • \dim X=0.
  • Każda przestrzeń X \in T_1, która ma wymiar \dim X=0 lub wymiar \operatorname{ind} X = 0 jest zerowymiarowa (w sensie \operatorname{ind}).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]