Przestrzeń zerowymiarowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń zerowymiarowaprzestrzeń topologiczna , która ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych. Warunek ten jest równoważny stwierdzeniu, że przestrzeń ma wymiar ind zero.

Czasami rozważa się przestrzenie wymiaru 0 względem wymiarów lub . Wówczas zwykle staramy się podkreślić, że chodzi o inne znaczenie zerowymiarowości niż podane powyżej (mówiąc np. że przestrzeń jest zerowymiarowa w sensie ).

Przykłady[edytuj]

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami zerowymiarowymi:

przestrzeń Stone’a danej algebry Boole’a.

Własności[edytuj]

  • Każda zerowymiarowa przestrzeń T1 jest całkowicie regularna.
  • Jedynymi spójnymi podzbiorami przestrzeni zerowymiarowej są zbiory jednopunktowe i zbiór pusty.
  • Podprzestrzeń przestrzeni zerowymiarowej jest zerowymiarowa.
  • Jeśli są przestrzeniami topologicznymi, jest zerowymiarowa, jest funkcją ciągłą, która jest także odwzorowaniem otwartym i domkniętym, to jest przestrzenią zerowymiarową.
  • Każda zerowymiarowa przestrzeń jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Cantora (dla pewnego zbioru indeksów ).
  • Jeśli jest przestrzenią metryczną z bazą przeliczalną, to następujące warunki są równoważne:
  • jest przestrzenią zerowymiarową (w sensie ),
  • ,
  • .
  • Każda przestrzeń , która ma wymiar lub wymiar jest zerowymiarowa (w sensie ).

Zobacz też[edytuj]