Kryterium Raabego

Kryterium Raabego – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1832 przez szwajcarskiego matematyka, Josepha Ludwiga Raabego. W 1834 Raabe opublikował wersję uogólnioną kryterium.

Kryterium

Niech dany będzie szereg

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech

$R_{n}=n\cdot \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\qquad (n\in \mathbb {N} ).$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r>1$ spełniona jest nierówność

$R_{n}\geqslant r,$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$R_{n}\leqslant 1,$

to szereg (A) rozbieżny.

Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

• Jeżeli

$\liminf _{n\to \infty }R_{n}>1,$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli dla prawie wszystkich $n$ zachodzi

$R_{n}\leqslant 1,$

to szereg (A) jest rozbieżny.

Wersja graniczna kryterium Raabego

Spotykana jest też następująca graniczna, słabsza wersja kryterium Raabego nazywana wersją graniczną bądź limesową:

Jeżeli granica

$R=\lim _{n\to \infty }R_{n}$

istnieje, to

• szereg (A) jest zbieżny, gdy $R>1$ oraz
• szereg (A) jest rozbieżny, gdy $R<1$.

Przykład zastosowania

Niech $x>0$ będzie liczbą rzeczywistą oraz niech dany będzie szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{(x+1)\cdot (x+2)\cdot \ldots \cdot (x+n)}}.$

Wówczas

$R_{n}=x\cdot {\frac {n}{n+1}},$

skąd

$R=\lim _{n\to \infty }R_{n}=x,$

a więc z kryterium Raabego (w wersji granicznej) rozważany szereg jest zbieżny, gdy $x>1$ oraz rozbieżny gdy $x<1.$ W przypadku $x=1$ rozważany szereg to (rozbieżny) szereg harmoniczny.

Szereg harmoniczny

W przypadku szeregu harmonicznego

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

dla wszystkich liczb naturalnych $n$ mamy

$R_{n}=n\cdot \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=n\cdot \left({\frac {n+1}{n}}-1\right)=1,$

więc kryterium Raabego potwierdza rozbieżność tego szeregu. Sama rozbieżność szeregu harmonicznego jest jednak wykorzystywana w dowodzie kryterium (zob. Dowód).

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Jeśli ciąg $(R_{n})$ maleje do $1,$ to kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Istotnie, dla szeregu

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln ^{2}n}}$

ciąg

$R_{n}=n\cdot \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=n\cdot \left({\frac {(n+1)\ln ^{2}(n+1)}{n\ln ^{2}n}}-1\right)$

jest ciągiem malejącym do $1.$ Ale na mocy kryterium Jermakowa szereg jest zbieżny.

Z drugiej strony dla szeregu

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}\cdot [(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}},$

ciąg

$R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\to 1^{+}$

maleje do $1.$ Ale na mocy kryterium Schlömilcha szereg ten jest rozbieżny.

Przykłady te pokazują, że twierdzeniu nie można warunku

Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r>1$ spełniona jest nierówność $R_{n}>r$

zastąpić warunkiem

Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność $R_{n}>1.$

Inaczej mówiąc, dla dostatecznie dużych $n$ zbiór elementów ciągu $(R_{n})$ musi być izolowany od liczby $1.$

Porównanie wersji kryterium

Niech dany będzie szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{1\cdot 3\cdot 7\cdot 13\cdot \ldots \cdot (n^{2}+n+1)}}.$

W tym przypadku

$R_{n}=n\cdot \left({\frac {n^{2}+3n+3}{n^{2}+2n+1}}-1\right)={\frac {n^{2}+2n}{n^{2}+2n+1}},$

a stąd

$R=\lim _{n\to \infty }R_{n}=1,$

tj. wersja graniczna kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony, dla wszystkich $n$ zachodzi

$R_{n}<1,$

a więc na mocy (oryginalnego) kryterium Raabego rozważany szereg jest rozbieżny. Przykład ten pokazuje, że wersja graniczna kryterium Raabego jest słabsza od oryginalnej.

Dowód

Idea dowodu kryterium Raabego polega na porównywaniu danego szeregu z szeregiem harmonicznym

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

który jest zbieżny dla $s>1$ oraz rozbieżny dla $s=1$.

Niech dla szeregu (A) zachodzi $R_{n}\geqslant r$ dla pewnego $r>1$ i dostatecznie dużych $n.$ Stąd także

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\geqslant 1+{\frac {r}{n}}.$

Niech $s$ będzie dowolną liczbą spełniającą $1<s<r.$ Z uwagi na to, że

$\lim _{n\to \infty }{\frac {(1+{\tfrac {1}{n}})^{s}-1}{\tfrac {1}{n}}}=s,$

dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

${\frac {(1+{\tfrac {1}{n}})^{s}-1}{\tfrac {1}{n}}}<r,$

tj.

$\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{s}<1+{\tfrac {r}{n}}.$

Oznacza to, że

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}>\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{s},$

czyli

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{s}={\frac {\tfrac {1}{(n+1)^{s}}}{\tfrac {1}{n^{s}}}}.$

Po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów zbieżnego szeregu harmonicznego $(s>1),$ a więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest zbieżny.

W przypadku, gdy od pewnego wyrazu zachodzi nierówność $R_{n}\leqslant 1,$ to zachodzi także nierówność

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant {\frac {n}{n+1}}={\frac {\tfrac {1}{n+1}}{\tfrac {1}{n}}},$

więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest rozbieżny, gdyż po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów rozbieżnego szeregu harmonicznego $(s=1).$

Dowód w oparciu o kryterium Kummera

Z rozbieżności szeregu harmonicznego wynika, że ciąg $c_{n}=n$ spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

$K_{n}=n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)=R_{n}-1,$

gdzie $K_{n}$ jest takie jak w wypowiedzi kryterium Kummera. Wynika stąd bezpośrednio kryterium Raabego.

Kryterium Raabego według Knoppa

Knopp w swojej monografii podaje następującą wersję kryterium Raabego dla szeregu (A). Niech

${\widehat {R}}_{n}=n\cdot \left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\qquad (n\in \mathbb {N} ).$

• Jeżeli

$\liminf _{n\to \infty }{\widehat {R}}_{n}>1$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli dla prawie wszystkich $n,$ $R_{n}\leqslant 1,$ to szereg (A) jest rozbieżny.

Kryteria te jednak nie są równoważne. Istotnie, w przypadku szeregu

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot n!\cdot 4^{n}}{(2n)!\cdot {\sqrt {n}}}}$

ciąg

$R_{n}=1+{\frac {1}{8n}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

maleje do 1, a więc oryginalne kryterium Raabego nie rozstrzyga zbieżności. Z drugiej jednak strony,

${\widehat {R}}_{n}=1-{\frac {3}{8n}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

rośnie do 1, a więc na mocy kryterium Raabego w wersji Knoppa, rozważany szereg jest rozbieżny.

Porównanie z kryterium d’Alemberta

Kryterium Raabego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta w następującym sensie. Jeżeli istnieje granica

$D=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$

i jest ona różna od $1,$ to granica $R$ ciągu $(R_{n})$ również istnieje oraz

• $R=\infty ,$ gdy $D<1,$
• $R=-\infty ,$ gdy $D>1.$

Oznacza to, że jeżeli kryterium d’Alemberta rozstrzyga zbieżność danego szeregu o wyrazach nieujemnych, to tym bardziej rozstrzyga ją kryterium Raabego. Przykładem szeregu, którego zbieżność rozstrzyga kryterium Raabego, ale kryterium d’Alemberta już nie, jest

$1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {1}{2n+1}},$

gdzie !! jest symbolem dwusilni. Istotnie, w tym przypadku

$D=\lim _{n\to \infty }{\frac {(2n-1)^{2}}{2n\cdot (2n+1)}}=1,$

a zatem kryterium d’Alemberta się nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony

$R_{n}=n\cdot \left({\frac {2n\cdot (2n+1)}{(2n-1)^{2}}}-1\right)={\frac {(6n-1)n}{(2n-1)^{2}}}.$

Ponieważ

$\lim _{n\to \infty }R_{n}={\frac {3}{2}}>1,$

z kryterium Raabego wynika zbieżność rzeczonego szeregu.

Porównanie z kryterium Schlömilcha

Kryterium Schlömilcha rozstrzyga o zbieżności szeregu (A) wtedy i tylko wtedy, gdy o zbieżności (A) rozstrzyga kryterium Raabego. Nie jest tak w przypadku stwierdzaniu rozbieżności szeregów.

Niech dany będzie szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!]^{2}}}.$

Wówczas

$R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\to 1^{+},$

tj. ciąg $(R_{n})$ maleje do $1,$ a więc kryterium Raabego nie rozstrzyga. Z drugiej jednak strony

$S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)<1$

dla dostatecznie dużych $n$ (zob. sformułowanie kryterium Schlömilcha), a więc rozważany szereg jest rozbieżny.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: PWN, 1965.
• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Blackie & Son Ltd., London-Glasgow 1990.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.brak strony w książce
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
• Franciszek Prus-Wiśniowski, A Refinement of Raabe’s Test, The American Mathematical Monthly, 115, No. 3 (Mar., 2008), 249–252.
• Franciszek Prus-Wiśniowski, Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests, Tatra Mt. Math. Publ. 42 (2009), 119–130.
• B. Ram, V.K. Srinivasan, Remarks on Raabe’s test in infinite series, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 9:3 (1978), 361–363.
• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.