Kurtoza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtoswydęty) – jedna z miar kształtu rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem:

gdzie:

– czwarty moment centralny,
odchylenie standardowe.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

W niektórych pracach, szczególnie starszych, można spotkać się ze wzorem na kurtozę, w którym nie odejmuje się od ułamka liczby 3. Nowa definicja kurtozy (ang. excess kurtosis) jest jednak wygodniejsza, gdyż:

  • kurtoza rozkładu normalnego wynosi 0
  • jeśli jest sumą niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej zachodzi własność:

Wbrew stwierdzeniom obecnym w niektórych podręcznikach, kurtoza nie mierzy "spłaszczenia", "wysmukłości" ani "spiczastości" rozkładu. Na kurtozę ma wpływ intensywność występowania wartości skrajnych, mierzy więc ona, co się dzieje w "ogonach" rozkładu, natomiast kształt "czubka" rozkładu jest praktycznie bez znaczenia[1].

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

  • mezokurtyczne (K = 0) – wartość kurtozy wynosi 0, intensywność wartości skrajnych jest podobna do intensywności wartości skrajnych rozkładu normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)
  • leptokurtyczne (K > 0) – kurtoza jest dodatnia, intensywność wartości skrajnych jest większa niż dla rozkładu normalnego („ogony“ rozkładu są „grubsze“)
  • platykurtyczne (K < 0) – kurtoza jest ujemna, intensywność wartości skrajnych jest mniejsza niż w przypadku rozkładu normalnego („ogony“ rozkładu są „węższe“).

Kurtoza z próby wyraża się wzorem:

gdzie:

-ta wartość cechy,
– wartość oczekiwana w populacji,
– odchylenie standardowe w populacji,
– liczebność próby.

Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:

gdzie:

– średnia z próby,
– odchylenie standardowe z próby,
– kolejne wartości cechy,
– liczebność próby.

Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnego[edytuj | edytuj kod]

Niech:

– kurtoza,
– moment centralny n–tego rzędu,
– moment zwykły n–tego rzędu,

Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:

Mamy:

a)
b)

Obliczamy momenty zwykłe:


















































Obliczone wartości:

podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b):

Stąd kurtoza jest równa:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Peter H. WESTFALL, Kurtosis as Peakedness, 1905 – 2014. R.I.P., „The American statistician”, 68 (3), 2014, s. 191–195, DOI10.1080/00031305.2014.917055, ISSN 0003-1305, PMID25678714, PMCIDPMC4321753 [dostęp 2021-03-15].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]