Kurtoza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtoswydęty) – jedna z miar spłaszczenia rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem:

gdzie:

– czwarty moment centralny,
odchylenie standardowe.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

W niektórych pracach, szczególnie starszych, można spotkać się ze wzorem na kurtozę, w którym nie odejmuje się od ułamka liczby 3. Nowa definicja kurtozy jest jednak wygodniejsza, gdyż:

  • kurtoza rozkładu normalnego wynosi 0
  • jeśli jest sumą niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej zachodzi własność:

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

  • mezokurtyczne (rozkład normalny K = 0) – wartość kurtozy wynosi 0, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)
  • leptokurtyczne (rozkład wysmukły K > 0) – kurtoza jest dodatnia, wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym
  • platokurtyczne (rozkład spłaszczony K < 0) – kurtoza jest ujemna, wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym

Kurtoza z próby wyraża się wzorem:

gdzie:

-ta wartość cechy,
– wartość oczekiwana w populacji,
– odchylenie standardowe w populacji,
– liczebność próby.

Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:

gdzie:

– średnia z próby,
– odchylenie standardowe z próby,
– kolejne wartości cechy,
– liczebność próby.

Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnego[edytuj | edytuj kod]

Niech:

– kurtoza,
– moment centralny n–tego rzędu,
– moment zwykły n–tego rzędu,

Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:

Mamy:

a)
b)

Obliczamy momenty zwykłe:


















































Obliczone wartości:

podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b):

Stąd kurtoza jest równa:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]