Kurtoza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos - wydęty) - jedna z miar spłaszczenia rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem:

gdzie jest czwartym momentem centralnym, zaś σ to odchylenie standardowe.

Uwaga[edytuj]

W niektórych pracach, szczególnie starszych, można spotkać się ze wzorem na kurtozę, w którym nie odejmuje się od ułamka liczby 3. Nowa definicja kurtozy jest jednak bardziej wygodna, gdyż:

  • kurtoza rozkładu normalnego wynosi 0
  • jeśli Y jest sumą n niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej X, zachodzi własność: Kurt[Y] = Kurt[X] / n.

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

  • mezokurtyczne - wartość kurtozy wynosi 0, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)
  • leptokurtyczne - kurtoza jest dodatnia, wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym
  • platokurtyczne - kurtoza jest ujemna, wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym

Kurtoza z próby wyraża się wzorem:

gdzie to i-ta wartość cechy, to wartość oczekiwana w populacji, to odchylenie standardowe w populacji, zaś n to liczebność próby.

Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:

gdzie to średnia z próby, s to odchylenie standardowe z próby, to kolejne wartości cechy, zaś n to liczebność próby.

Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnego[edytuj]

Niech:



– kurtoza

– moment centralny n–tego rzędu

– moment zwykły n–tego rzędu


Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:





mamy:

a.)

b.)







Obliczamy momenty zwykłe:





























































Obliczone wartości:







podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b.) :







Stąd kurtoza jest równa:


Zobacz też[edytuj]