Przejdź do zawartości

Statystyka (funkcja)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Definicja intuicyjna
Statystyka to liczbowa charakterystyka próby statystycznej.

Statystyka, statystyka z próby to – w najprostszym ujęciu – liczbowa charakterystyka próby losowej[1]. Ponieważ próba jest losowa, statystyka, jako funkcja próby, jest zmienną losową[2]. Przykładami statystyk są: średnia z próby, odchylenie standardowe i wariancja z próby, a także statystyki testowe, takie jak statystyka t lub statystyka chi-kwadrat.

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej.

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele podzbiorów zbioru indeksowaną parametrem Niech dalej będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną nazywamy statystyką. Zbiór jest nazywany przestrzenią prób.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
  • Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Statystyka swobodna

[edytuj | edytuj kod]

Statystyka jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy istnieje i nie zależy od Wspólną dla wartość oczekiwaną oznaczamy i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki

Statystyka dostateczna

[edytuj | edytuj kod]

Definicja i własności

[edytuj | edytuj kod]
σ-ciało dostateczne

σ-podciało σ-ciała jest dostateczne, gdy dla każdego istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego taka sama dla wszystkich miar z rodziny

Statystyka dostateczna

Statystykę nazywamy dostateczną, jeżeli σ-podciało jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka będzie statystyką o wartościach wektorowych. jest statystyką dostateczną dla rodziny lub dla jeżeli dla każdej wartości rozkład warunkowy nie zależy od

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości dają się przedstawić w postaci:

gdzie:

jest funkcją -mierzalną,
funkcje -mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna

[edytuj | edytuj kod]

Statystykę dostateczną nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej istnieje funkcja taka, że

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Amir D. Aczel i inni, Statystyka w zarządzaniu, Wydanie 2, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, ISBN 978-83-01-19510-6 [dostęp 2023-12-19].
  2. J.R. Barra, Matematyczne podstawy statystyki, s. 11–12.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]