Statystyka (funkcja)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Statystyka to funkcja mierzalna określona na przestrzeni statystycznej, służąca do wyodrębnienia pewnych istotnych cech danych doświadczalnych. Jest szczególnym przypadkiem miary rozkładu. Pojęcie statystyki w statystyce matematycznej jest odpowiednikiem zmiennej losowej w rachunku prawdopodobieństwa[1].

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele podzbiorów zbioru , indeksowaną parametrem . Niech dalej będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną nazywamy statystyką. Zbiór jest nazywany przestrzenią prób.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
  • Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Statystyka swobodna[edytuj | edytuj kod]

Statystyka jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy istnieje i nie zależy od . Wspólną dla wartość oczekiwaną oznaczamy i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki

Statystyka dostateczna[edytuj | edytuj kod]

Definicja i własności[edytuj | edytuj kod]

σ-ciało dostateczne

σ-podciało σ-ciała jest dostateczne, gdy dla każdego istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego taka sama dla wszystkich miar z rodziny

Statystyka dostateczna

Statystykę nazywamy dostateczną jeżeli σ-podciało jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka będzie statystyką o wartościach wektorowych. jest statystyką dostateczną dla rodziny lub dla jeżeli dla każdej wartości rozkład warunkowy nie zależy od .

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości dają się przedstawić w postaci:

gdzie jest funkcją -mierzalną, funkcje -mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna[edytuj | edytuj kod]

Statystykę dostateczną nazywamy minimalną statystyką dostateczną jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej istnieje funkcja taka, że .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. J.R. Barra Matematyczne podstawy statystyki, s. 11-12

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jean René Barra, Elżbieta Pleszczyńska, Maria Wesołowska: Matematyczne podstawy statystyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-02847-5.
  • Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)