Statystyka (funkcja)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Statystyka to funkcja mierzalna określona na przestrzeni statystycznej, służąca do wyodrębnienia pewnych istotnych cech danych doświadczalnych. Jest szczególnym przypadkiem miary rozkładu. Pojęcie statystyki w statystyce matematycznej jest odpowiednikiem zmiennej losowej w rachunku prawdopodobieństwa[1].

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele podzbiorów zbioru , indeksowaną parametrem . Niech dalej będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną nazywamy statystyką. Zbiór jest nazywany przestrzenią prób.

Uwagi[edytuj]

  • Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
  • Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Przykłady[edytuj]

Statystyka swobodna[edytuj]

Statystyka jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy istnieje i nie zależy od . Wspólną dla wartość oczekiwaną oznaczamy i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki

Statystyka dostateczna[edytuj]

Definicja i własności[edytuj]

σ-ciało dostateczne

σ-podciało σ-ciała jest dostateczne, gdy dla każdego istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego taka sama dla wszystkich miar z rodziny

Statystyka dostateczna

Statystykę nazywamy dostateczną jeżeli σ-podciało jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka będzie statystyką o wartościach wektorowych. jest statystyką dostateczną dla rodziny lub dla jeżeli dla każdej wartości rozkład warunkowy nie zależy od .

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości dają się przedstawić w postaci:

gdzie jest funkcją -mierzalną, funkcje -mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna[edytuj]

Statystykę dostateczną nazywamy minimalną statystyką dostateczną jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej istnieje funkcja taka, że .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. J.R. Barra Matematyczne podstawy statystyki, s. 11-12

Bibliografia[edytuj]

  • Jean René Barra, Elżbieta Pleszczyńska, Maria Wesołowska: Matematyczne podstawy statystyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-02847-5.
  • Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)