Metody Newtona-Cotesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metody Newtona-Cotesa – zbiór metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.

Przyjmujemy, że wartość funkcji f jest znana w równo oddalonych punktach xi, dla i = 0, ..., n. Dla punktów oddalonych od siebie o inne odległości ma zastosowanie inna klasa wzorów, kwadratura gaussowska.

Jeżeli równoodległymi węzłami interpolacji funkcji f(x) (tj. są elementami dziedziny f, dla których znana jest wartość ), to całkę:

można aproksymować całką:

gdzie jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a stopnia co najwyżej n, przybliżającym funkcję f(x) w węzłach interpolacji, tj.:

Niech oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.

Wprowadzając zmienną t taką, że x=a+th można zapisać:

Wtedy:


,


dla t=0
dla t=1

dla t=n

Zmieniając zmienną, oraz granice całkowania otrzymuje się:

Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla n+1 równo odległych węzłów przyjmuje postać:

Przyjmując za (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się:

Dowód:
Niech .
Wtedy:
Odwrócenie granic całkowania:
Niech .
Po wyciągnięciu (-1) przed iloczyn i mianownik:

Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:

  • otwarte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz
  • zamknięte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.

Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu n:

gdzie xi = h i + x0, z h (nazywanym rozmiarem kroku) równym (xn - x0)/n oraz wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange'a. To oznacza, że zależą tylko od xi a nie od funkcji f. L(x) wielomianem interpolacji w postaci Lagrange'a dla punktów (x0, f(x0) ),..,(xn, f(xn) )

Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu n:

wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.

  • Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.
  • Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.
  • W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.
  • Notacja oznacza .
Rząd Tradycyjna nazwa Wzór Błąd
1 wzór trapezów
2 wzór Simpsona
3 reguła 3/8
4 wzór Boole’a czasem błędnie[1] nazywany wzorem Bode'a

Wykładnik o kroku h w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna f w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Zauważ, że pochodna f w wyrazie błędu wzrasta o 2 dla każdego innego wzoru. Liczba zwiera się pomiędzy a i b.

W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu otwartego.

Rząd Tradycyjna nazwa Wzór Błąd
0 wzór prostokątów
1
2
3

Zwróć uwagę, że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok h musi być mały, co oznacza, że przedział całkowania również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych podprzedziałów a następnie dodając wyniki. Jest to metoda złożona.

Literatura[edytuj]

  • J.i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Warszawa, 1981. (See Section 4.5)
  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj]